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确定多面体外接球球心位置的两种基本方法

彭建开
多面体外接球问题,是全国卷考试命题的热点,纵观2010年到2017年这八年的全国卷试题都有考外接球(除2014年只有大纲文科卷考),因此掌握好这类问题的解法,也是高三复习备考中的基本要求.解决这类问题,关键是找到球心,而球是均匀的物体,所以几何体的中心就是球心,从这个角度来说,我们确定球心就是要找到几何体的中心. 对于规则的几何体来说,可能找到球心并不难,但对于一些不规则的几何体,找到球心就不是那么容易了. 本文介绍两种常见的找外接球的球心的方法.
方法一:补形确定球心
在多面体外接球问题中,直棱柱和长方体(包括正方体)的外接球球心不难找到. 如:设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为a,顶点都在一个球面上,和的则该球的表面积为( )
A. ?仔a2 B. ?仔a2 C. ?仔a2 D. 5?仔a2
因为是一个直棱柱,上下底面中心连线段中点就是球心,凡是直棱柱的球心都是如此.很多题目都是以这两个题目作为母题,进行变式.
1. 将棱锥补成直棱柱
例1.(广州执信中学2017- 2018学年高三期中理11)三棱锥A-BCD中,底面△BCD是边长为3的等边三角形,侧面三角△ACD为等腰三角形,且腰长为,若AB=2,则三棱锥A-BCD外接球表面积是( )
A. 4?仔 B. 8?仔 C. 12?仔 D. 16?仔
解析:
如图1,可知AB⊥平面BCD,所以只需要把三棱锥补成一个直棱柱,当直棱柱与三棱柱的外接球是同一个球,所以只要求出这个直棱柱的外接球的半径就可以了. 而这个球心就在上下底面中心的连线段的中点处,BO2=BC=,OO2=1,∴ BO1=R=2,外接球表面积S=4?仔R2=16?仔,选D.
例2.(华中师大附中2017-2018高三期中考试文9)如下图所示是一个几何体的三视图,则这个几何体外接球的表面积为( )
A. 8?仔 B. 16?仔 C. 32?仔 D. 64?仔
解析:把三视图还原成直观图后,如图四,底面是个直角三角形,∠C=90°,AA1∥BB1,AA1⊥面ABC,所以要找外接球的球心,只要把这个几何体补成一个直三棱柱,就知道球心O在上下两个底面的外接圆圆心O1,O2连线段的中点上,外接球半径R=OA==2,S=4?仔R2=4?仔(2)2 =32?仔,选C.
小结:多面体外接球问题,若可以补形为直棱柱,则补形为直棱柱比较简单.
变式练习:
1.(执信2017- 2018学年高三期中文)三棱锥S-ABC 及其三视图中的正视图和侧视图如图所示,则该三棱锥的外接球的表面积为( )
A. 32?仔 B. C. D.
2.(2016广州一测10)一个六棱柱的底面是正六边形,侧棱垂直于底面,所有棱的长都为1,顶点都在同一个球面上,则该球的体积为( )
A. 20?仔 B. C. 5?仔 D.
2. 补成长方体(正方体)
长方体和正方体的外接球问题比较容易,因为二者都是规则的几何体,长方体(包括正方体)的中心就是球心,即正方体的体对角线中点就是球心. 如:长方体的长宽高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为
.
掌握了这些基本题型,很多类似的题就可以转化长方体(包括正方体)来解.
例1. 已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的半径为( )
A. B. 2 C. D. 3
解析:如图8,因为AC,AB,AA1三条直线相互垂直,所以可以以此三边作为长方体的三条棱,补成一个长方体如图9,则长方体的对角线长l===13,所以外接球的半径R=,故选C.
例2. 已知正三棱锥P-ABC,点P,A,B,C都在半径为的球面上,若PA,PB,PC两两互相垂直,则球心到截面ABC的距离为_______.
解析:如图10,正三棱锥P-ABC,所以可以把它补成一个正方体如图11,设正方体边长为a,3a2=(2)2,BC=2,CH==,PH==,正方体的球心到H的距离d=R-PH=-=.
小结:只要有三条相互垂直的棱,就可以尝试补形为长方体(或正方体).
变式练习:
3. 某幾何体的三视图如图12所示,则该几何体外接球的表面积为( )
A. 4?仔 B. 12?仔
C. 48?仔 D. 6?仔
4.(2017佛山一模文)已知三棱锥P-ABC的三条侧棱 PA,PB,PC 两两相互垂直,且PA=2,PB=3,PC=2,则此三棱锥的外接球的体积等于________.
方法二:过小圆圆心作垂线确定球心
若多面体不是规则图形,则寻找外接球的球心较为困难,但是可以用下面的方法去尝试,一个锥体的外接球球心,一定在过底面这个多边形所在的小圆的圆心的垂线上.
例1. 某几何体的三视图如图13所示,正视图为直角三角形,侧视图为等边三角形,俯视图为等腰直角三角形,则其外接球的表面积为( )
A. 5?仔 B. ?仔 C. 8?仔 D.
解析:直观图如图14所示,外接球球心一定在与三角形ABC的外心垂直的直线上,不妨设球心为O,所以OS=OA=R, (-x)2+12=()2+x2,x=,R2=,S=4?仔×=,选D.
例2. 在四面体S-ABC中,SA⊥平面ABC,∠BAC=120°,SA=AC=2,AB=1,则该四面体的外接球的表面积为( )
A. 11?仔 B. 7?仔 C. D.
解析:如图16所示,要找到外接球的球心,考虑到三点A、B、C在球上,所以我们先设经过这三点的小圆圆心为O1,球心O一定在过O1与平面ABC垂直的直线上,设球心为O,过O作OH⊥SA,可知O1O=HA=1,OH=O1A,O1A是三角形ABC外接圆圆心,设它的半径为r,计算得BC=,=2r,r=,所以OA2=R2=OO12+r2=12+()2=,所以外接球的表面积S=4?仔R2=4?仔×= ,故选C.
小结:过锥体的底面所在 的小圆圆心作垂线,球心就在此垂线上,再通过计算可以求出半径.
变式练习:
5. 正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为( )
A. B. 16?仔 C. 9?仔 D.
6. 如图18,已知四棱锥P-ABCD的底面为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,AD=2,PA=PD=AB=2,则四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为( )
A. 2?仔 B. 4?仔 C. 8?仔 D. 12?仔
变式练习答案:1. B;2. D;3. B;4. ;5. A;6. D
责任编辑 徐国坚
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