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浅议二次函数在生活中的应用

邓发广



随着人类的发展,社会的进步,人们的生活水平也在不断提高,人类对资源的需求量也在不断增加,如何让我们身边的资源得到最充分的运用,如何让同样的付出得到更多的收获,是我们当今的教育者也是当今社会中每一个人所关注的一个重要问题,本文以二次函数为例探讨如何把数学知识应用到实践中去。
一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的函数叫作x的二次函数。
二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要数学模型。
二次函数也是某些单变量最优化问题的数学模型,如生活中涉及的求最大利润,最大面积等实际问题都与二次函数的极值有关。
二次函数的图象——抛物线,也是人们最为熟悉的曲线之一。喷泉的水流,铅球的投掷,篮球的投掷,跳水等都形成抛物路径。同时,抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用,如抛物线形拱桥,抛物线形隧道等。既然二次函数在我们生活中应用的如此广泛,下面我就略举几例以供探讨。
一、二次函数的极值在生活中的运用
1.在农业方面的应用
例1:据调查,某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子,现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少,根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子,那么果园应增种多少棵橙子树才合适?
解:设果园应增种x棵橙子树,则增种橙子树后每棵树所结橙子为(600-5x)个,若用y表示果园中橙子的总数量,由题意可得:
∴当果园增种10棵橙子时,最合适,因为此时橙子总量最多为60500个。
2.在商业方面的应用
例2:某商场以每件42元的价钱购进一种服装,根据试销得知,若每件售价为50元,每天可以卖54件,当售价每上涨1元时,销售量就会减少3件。
(1)写出商场卖这种服装每天的销售利润y与每件销售价x之间的函数关系式(每天的销售利润是指所卖出服装的销售价与购进价的差);
(2)通过对所得函数关系进行配方,指出:商场要想每天获得最大的销售利润,每件的销售价定为多少最为合适,最大销售利润为多少?
∴当每件的销售价为55元时,可取得最大利润,每天最大销售利润为507元。
3.在日常生活中的应用
例3:某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m,当x取多少时,窗户通过的光线最多?(π取3)
由此可得,当x=15/8时,窗户面积最大为225/32m2,所以当x=15/8m时,窗户通过的光线将最多。
由上述例子可以看出:在丰富的现实背景中,蕴涵着大量的与二次函数极值相关的问题,学生经历探索,分析,抓住本质的条件,建立两个变量之间的二次函数关系,进而达到解决问题的目的。
二、二次函数的图象在生活中的应用
二次函数的图象——抛物线是一种常见的图形,利用图象可以帮助人们分析、解决生活中的很多问题,下面我就图象的应用略举几例。
1.在体育运动方面的应用
2.在建筑业方面的应用
(1)柱子OA的高度为多少米?
(2)喷出的水流距水平面的最大高度是多少米?
(3)若不计其他因素,水池的半径至少要多少米,才能喷出的水流不至于落在池外?
解:(1)当x=0时,y=5/4,所以水柱子OA的高度为5/4。
答:水池的半径至少要2.5米,才能使喷出的水流不至于落在池外。
3.在交通业方面的应用
例6:如图,这是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的示意图,横断面的地平线为x轴,横断面的对称轴为y轴,桥拱的DGD′部分为一段抛物线,顶点G的高度为8米,AD和A′D′是两侧高为5.5米的支柱,OA和OA′为两个方向的汽车通行区,宽都为15米,线段CD和C′D′为两段对称的上桥斜坡,其坡度为1∶4。
(1)求桥拱DGD′所在抛物线的解析式及CC′的长;
(2)BE和B′E′为支撑斜坡的立柱,其高都为4米,相应的AB和A′B′为两个方向的行人及非机动车通行区,求AB和A′B′的宽。
(3)按规定,汽车通过该桥下时,载货最高处和桥拱之间的距离不得小于0.4米,今有一大型货汽车,装载某大型设备后,其宽为4米,车载大型设备的顶部与地面的距离均为7米,它能否从OA(或OA′)区域安通过?请说明理由。
其实二次函数在我们生活中的应用是多方面的,在此,我只不过提到了其中的很小一部分,既然二次函数与我们的生活关系这么紧密,那我们还有什么理由不去学它,不去研究它,不去关注它呢?愿每一个喜欢数学的人都能在生活中灵活利用二次函数的极值、图像等的知识来解决问题。同时,也希望我们能够发现生活中与二次函数有关的模型,尽可能把我们所学的理论知识运用于实践,对其进行加工改造,使其能更有效地发挥作用,为人类谋福利。
(作者单位:湖北省丹江口市红旗中学)
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