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数学运算素养下的一题多解

王淼生 黄勇
摘 要:数学运算是数学学科的核心素养之一,历来是课程和教学的重点内容.教师在教学中可以通过一题多解,充分展示培养数学运算素养的精髓,理解运算对象,掌握运算法则,探究运算方向,选择运算方法,设计运算程序,求出运算结果,反思运算历程.
关键词:核心素养;数学运算;一题多解
一、数学运算
核心素养是我国新一轮课程改革的主要方向,体现高中课程的总体目标,标志着我国基础教育进入以培养核心素养为中心的新阶段.数学核心素养是未来合格公民应具备的最基本、最重要的学科素养.基于数学学科特点,《普通高中数学课程标准(2017年版)》首次明确提出数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象和数据分析等六大数学核心素养,其中数学运算历来是课程和教学的重点内容.数学运算是指依据运算法则,对数字、式子和量等运算对象进行代换或变换,强调解决问题的过程.数学运算并不仅仅是指数学计算,也不能理解为一般意义上的数学计算.数学运算不仅包括数字的简单计算,还包括各种数学式子及方程的变形,以及极限、微积分、逻辑代数的运算等.因此数学运算的核心就是理解运算对象、掌握运算法则、探究运算方向、选择运算方法、设计运算程序、求得运算结果.下面以一道题的一题多解为例,阐述数学运算素养的培养.
二、题目呈现
如图1所示,[AB]是半圆[O]:[x2+y2=1]([y≥0])的直径,点[C]为半圆上任意一点,延长[AC]到点[P],使得[CP=CB].
当点[C]从点[B]运动到点[A]时,动点[P]的轨迹的长度是( ).
A.[2π] B.[322π]
C.[22π] D.[42π]
三、题目分析
(一)运算对象
理解运算对象是实施数学运算的前提,否则数学运算就成为无源之水、无本之木.例题涉及解析几何中的直线、圆及它们之间的位置关系;涉及直线的方程、倾斜角、斜率;涉及平面几何中的圆、等腰三角形、直角三角形相关性质;涉及动点轨迹及弧长等运算对象.
(二)运算法则
掌握运算法则是实施数学运算的基础.对于直线与圆相交可以联立并解方程组,或运用韦达定理,或借助点到直线的距离公式;对于斜率可以利用[k=tanα],也可以利用点的坐标来表示;对于几何问题,可以借助平面几何中的性质、定理(如三角形全等、相似)来处理.
(三)运算方向
实施数学运算关键在于探究运算方向,只有方向明确,才能保证运算在正确的轨道上运行.厘清问题本质是探究运算方向的基石.例题本质就是求满足条件的动点轨迹,主要有定义法、代入法、参数法、几何法、交轨法等,其中尤其关注轨迹纯粹性.
(四)运算方法
在明确运算方向的背景下,任何数学运算最终必须落实到具体方法与操作流程.解题教学中不仅要向学生阐述构思历程,而且要展示详细运算过程,这既是数学运算核心素养的基本要求,也是培养运算能力的具体操作,更是优化思维品质,提升核心素养的途径.
(五)运算程序
实施数学运算是理解运算对象、掌握运算法则、探究运算方向、选择运算方法之后面临的关键问题.设计有效、恰当、简捷的运算程序是破解具体问题的必由之路,更是解决同类及相似问题的普遍方法,达到举一反三、触类旁通的效果,是实施高效解题教学的重要策略.
(六)运算结果
数学运算最终目的是求解结果,不仅运算结果正确,而且追求最佳、最简结论,同时要善于反思、勇于质疑.反思是解题教学的核心.反思解题思路,培养思维发散性;反思解题过程,培养思维严谨性;反思解题结果,培养思维批判性;反思解题规律,培养思维创造性.
四、一题多解
五、感悟反思
(一)命题陷阱
从上述剖析过程可知,动点[P]的轨迹方程为[(x-0)2+(y-1)2=2]([x>-1],[y≥0]),因此其轨迹为半圆,轨迹长度为圆周长的一半,这正是选项A.不少学生没有注意到轨迹的纯粹性,误以为轨迹就是整个圆,这正是命题专家故意设置干扰项C的缘由.部分学生注意到[y≥0],误以为轨迹就是圆[(x-0)2+(y-1)2=2]在[x]轴上方的部分,从而得到轨迹长度为该圆周长的四分之三,这是命题专家设置干扰项B的依据.正如上述解法3,不少学生误以为轨迹是两个圆,这是设置干扰项D的理由.针对选择题,我们必须研究命题专家设置干扰项的“理由”,这是精准解答选择题的关键,也是预防错误并得到正确结果的必经之路.
(二)反思质疑
波利亚将解题过程分为弄清问题、拟定计划、实施计划、回顾反思等四个阶段.弄清问题即剖析条件之间的关联,理解运算对象,掌握运算法则;拟定计划就是在探究运算方向的前提下,设计运算程序;实施计划就是选择运算方法并求得运算结果;回顾反思是最重要也是最容易忽略的一个环节,通过回顾所完成的解答,并重新考虑和重新检查这个结果和得出这一结果的思路,巩固知识,提高解题能力,优化思维品质,提升运算素养.
比如,对于解法2,轨迹为何是半圆呢?源于点[C]本身只能在半圆[O]上运动.对于解法3中的①→⑥,為何这样配方呢?有何依据?因为解法2从本源上确定其轨迹是圆的一部分,既然是圆就一定可以这样配方.解法3中怎么会出现两个圆呢?事实上,已知三角形一边与其对角,其动点轨迹本来就是两段圆弧,只是因为动点[C]在半圆[O]上运动,因此其轨迹只能是一个圆的一段弧.为何解法4中可以将[x2+y2]看作一个整体呢?其实,这并非是简单的换元法,而是因为解法2已经明确轨迹为圆的一部分.既然是圆,依据圆的一般方程特点:[x2]与[y2]的系数相同且不为零,这才是看作一个整体的缘由;客观地讲,由(9)与(10)消去参数[α]以及由(12)消去参数[k]并不容易,正是解法2作为铺垫,使得我们明确了运算方向,于是在(10)式与(12)式两边同时减去1,为后续消去参数奠定基础.这也再一次说明探究运算方向、选择运算方法(两式平方相加)并非空穴来风,而是建立在缜密分析的基础上.事实上,在解法6中,利用三角函数的值域,容易得到[x>-1],[y≥0],正好与题意吻合,也恰好体现轨迹的纯粹性.上述解法6与解法8毕竟仅仅含有一个参数,相对不算太难,而解法10中含有两个参数[x0],[y0],必须承认,从(14)(15)(16)及(17)中同时消去参数[x0],[y0]是十分困难的,笔者也是经历长时间摸索.遗憾的是,不少教师在实施运算时,往往重视运算方向、方法而忽视具体操作过程,不愿意甚至根本不舍得花时间来详细演绎运算过程,导致学生一看会做、一算就错、会而不对、对而不全.当涉及运算对象([x],[y],[x0],[y0])较多,主要矛盾就是减元,这就是为何连续将(14)分别代入(15)(17),将(15)代入(16),将(18)代入(19),将(20)代入(21)的缘故,其终极目标依然是奔着解法2的结果(圆)而去.如果没有这一目标,几乎很难有效消去两个参数.
(三)不可分割
由上述分析过程,我们深刻感悟到数学核心素养之间你中有我,我中有你.它们既有区别又有联系,既各有侧重又和谐统一.数学运算往往与直观想象密切相关,上述解法3、解法4、解法6、解法8以及解法10(数学运算)都是建立在解法2以及解法7(几何直观)的基础上,通过几何直观,启迪解题思路;数学运算又与数据分析密不可分,数据就是信息,透过数据,发现本质,正是上述解法5中的数据,让我们联想到同弧上的圆心角为圆周角两倍,进而紧扣目标(圆);同时数学运算还与逻辑推理不可分割,通过逻辑推理,发现隐含规律,上述解法3、解法4、解法6、解法8,尤其解法10中的逻辑推理过程非常复杂,在推理的同时关注运算,在运算的过程中体会推理,使得数学运算、逻辑推理、数据分析以及几何直观等核心素养融为一体,相得益彰,在解题活动中,感悟数学思想方法,积累数学思维的经验,在潜移默化中形成和发展数学运算素养.
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