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核心素养立意是高考数学命题的基本原则

赵思林 柴文斌 胡富雅
摘 要:核心素养立意是高考数学命题的基本原则.从六个核心素养角度看,2018年高考数学全国卷部分试题的立意一般以某种核心素养为主,兼考其他一个或多个核心素养.
关键词:高考数学;核心素养;立意
40多年来,我国高考数学命题的立意经历了从“知识立意”到“能力立意”,再到“数学核心素养立意”的发展与转变.以数学核心素养立意的高考命题,就是首先确定试题在数学核心素养和能力方面的考查目的,然后根据核心素养和能力考查的要求,选择适当的知识和技能,设计恰当的情境和问题.以“核心素养立意”的试题一般不会只考查某一个核心素养,比如考数学抽象素养,那么命题的一般思路是以考查数学抽象为主,兼考其他一个或多个核心素养.分析2018年高考数学全国卷发现,很多题目同时考查六个核心素养中的几个素养,单独只考某一个核心素养的题目比较少.下面从六个核心素养的角度,对2018年高考数学全国卷部分试题的立意作分析和点评.
一、以数学抽象立意
高度的抽象性是数学的基本特征.数学基本概念的形成、公理体系的建立等都必须经历抽象的过程.数学抽象在几何(如平面几何、立体几何等)、代数(如函数、不等式、排列组合等)、向量、导数中都有广泛的应用.数学抽象可以把具有生产生活背景的实际问题抽象为数学问题,并能够将实际问题用抽象的概念和符号表示成数学模型.因此,数学抽象素养是高考的重要考点.
例1 (2018年全国卷Ⅱ理科11题)已知[f(x)]是定义域为[(-∞, + ∞)]的奇函数,满足[f(1-x)=f(1+x)].若[f(1)=2],则[f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=] .
A. -50 B. 0 C. 2 D. 50
立意与分析1:本题考查抽象函数的奇偶性(对称性)、周期性、数列求和等知识,考查数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养.由[f(1-x)=f(1+x)]可知,函数[f(x)]的图象关于直线[x=1]对称,这里需要具有直观想象素养.又由[f(x)]是奇函数,可以推出函数[f(x)]是一个以4为周期的周期函数.
解法1:(略).
立意与分析2:由立意与分析1知,函数[f(x)]是一个以4为周期的周期函数.本题也可以采用特殊值法,即把函数[f(x)]看成(当成)一个特殊的函数.怎样找到(或构造)这个特殊的函数呢?首先,注意到[f(x)]是周期函数,容易联想到三角函数;其次,由[f(x)]是定义域为[(-∞, + ∞)]的奇函数,可联想到正弦型函数[Asin(ωx+φ)],由周期[T=4=2πω]可取[ω=π2],从而,这个正弦型函数可能是[Asin(π2x+φ)];接着,注意到[f(0)=0],因此可猜想这个正弦型函数可能是[Asinπx2];最后,由[f(1)=2],可把[f(x)]看成[h(x)=2sinπx2].到此,就构造出满足题设四个条件(定义域是[(-∞, + ∞)],奇函数,[f(1-x)=f(1+x)]及[f(1)=2])的一个具体函数了,问题就容易解答.
解法2:(用特殊值法)构造[h(x)=2sinπx2].易知[h(x)]满足题目的所有条件,因此可以取[f(x)=h(x)].计算得,[h(1)=2, h(2)=0, h(3)=-2, h(4)=0].
所以[f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12][ f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)=2.
故选C.
评注:本题以抽象函数为载体,以周期函数为背景,主要考查了数学抽象素养,也兼考逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养.具体地说,为考查数学抽象这一核心素养,题目设计了一个具有奇偶性、对称性、周期性等的抽象函数[f(x)].由于题目中的函数符号[f(x)]、函数方程[f(1-x)=f(1+x)],以及求和形式[f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)]都具有抽象性,因此考生只有破解这些抽象性,才能得到答案.考生要想破解这些抽象性,可以考虑运用“形”的直观性,即是说,利用“[f(x)]是定义域为[(-∞, + ∞)]的奇函数”等价于“[f(x)]的图象关于坐标原点对称”,“[f(1-x)=][f(1+x)]” 等价于“函数[f(x)]的图象关于直线[x=1]对称”,通过画图不难发现[f(x)]是一个周期函数,并且一个周期为4.至此,问题的解答就容易了.对于数学抽象的考查一般有两种方式:一是考查对问题及在问题解决过程中需要运用的数学抽象的方法,如引入符号、把问题一般化等才能解决问题;二是考查对抽象的符号、抽象的函数、抽象的方程、抽象的代数式等的认识、处理和运用,特别应重视充分发掘抽象的数学结构的几何意义.特殊化、直观化、具体化等是解决数学抽象问题的基本思维策略与方法.
二、以邏辑推理立意
逻辑推理是数学根本特色.推理包括合情推理和逻辑推理.逻辑推理是数学思维的基本形式之一.逻辑推理是培养学生理性思维的基本策略和重要抓手.绝大多数高考数学试题都与逻辑推理有关,或能找到逻辑推理的影子.
例2 (2018年全国卷Ⅲ理科16题)已知点[M(-1, 1)]和抛物线C:[y2=4x],过C的焦点且斜率为k的直线与C相交与[A, B]两点,若[∠AMB=90°],则[k=] .
立意与分析:本题考查斜率公式、直线方程和抛物线等基础知识,主要考查数学运算等核心素养.若用“算”的方法,需解[y2=4x,y=k(x-1).]消元,得[k2x2-(4+2k2)x+k2=0],接着用韦达定理,并用直角坐标或向量法可以做下去,但计算过程较为烦琐.若用抛物线定义和平面几何知识,就可推出抛物线[y2=2px (p>0)]的一个重要性质:以焦点弦[AB]为直径的圆与抛物线的准线相切,并且[MF⊥AB].利用[MF⊥AB],可大大减少运算量,达到多想少算的目的.
解:设点[A, B]在准线上的射影点分别为[A1, B1],弦[AB]的中点为[K],则[AA1B1B]为直角梯形(图略).显然,点[M]在准线[x=-1]上.
又因为[∠AMK=90°],
所以[MK=AB2=AF+FB2=AA1+BB12].
因此,[MK]是直角梯形[AA1B1B]的中位线.
所以,点[M]为[A1B1]的中点,且[MK//AA1].
所以,[∠MAA1=∠AMK].
又由[MK=AK],知[∠AMK=∠MAK].
所以[∠MAA1=∠MAF].
因此[△MAA1]≌[△MAF](“边角边”).
从而可得,[MF⊥AB].
所以[k=kAB=-1kMF=2].
评注:本题立意是考查解析几何基本思想方法,即以解析几何知识为载体考查数学运算等核心素养.解析几何的基本思想方法是用代数方法研究几何问题,就是以“算”为主,这当然是通性通法.但对本题而言,这并不是最佳方法.若用抛物线定义和平面几何知识,就可演绎推出[MF⊥AB],这样就可以极大地减少运算量,享受“多想少算”的乐趣.本题作为填空题,只要画一个草图,上述逻辑推理的每一步的结论都可以在草图上直观地看出来(并不需要一步一步写出来),这需要考生具备直观想象素养.
三、以数学建模立意
数学建模肩负培养和考查学生数学应用意识的重任.修订后的高中新课标在高考和学业水平考试建议中,要求应有一定数量的应用问题,重点考查学生的思维过程、实践能力和创新意识,问题情境的设计应自然、合理.因此,考查应用意识或考查数学建模是一条长期坚持的命题原则.
例3 (2018年全国卷Ⅱ理科18题)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图.为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立[y]与时间变量[t]的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量[t]的值依次为[1, 2, …, 17])建立模型①:[y=-30.4+13.5t];根据2010年至2016年的数据(时间变量[t]的值依次为[1, 2, …, 7])建立模型②:[y=99+17.5t].
(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.
立意与分析:本题考查概率统计中的线性回归模型、折线统计图等基础知识,考查数据分析、数学运算、统计评价等数学素养.由已知数据来预测未来的数据,要求考生具有一定的数据分析能力.
简解:(1)模型①:当[t=19]时,[y=226.1](亿元).
模型②:当[t=9]时,[y=256.5](亿元).
(2)利用模型②得到的预测值更可靠.其理由是不唯一的,从略.
评注:本题属于“给定数学模型”的问题.第(1)问较简单,只要不把[t]的值取错,且运算能力过关,就不会有什么困难.第(2)问有几大亮点:一是考查了考生的预测能力,预测能力是杰出人物的重要心理品格.有格言說“预则立,不预则废”,这里的“预”是预测的意思,预测是对事物未来发展(趋势)的提前把握,概率统计具有预测功能.二是考查统计评价,体现统计的预测功能和实用价值.三是通过本题考查考生的高级认知能力,从认知的角度看,评价属于高层次、高水平的认知能力.通过概率统计的学习培养学生高层次认知能力,是一条非常有效的教学策略.四是考查考生的书面表达能力.五是第(2)问是一个(结论)开放性问题,这是因为第(2)问的理由的说明方法不唯一,属于结论开放性问题.开放性问题是高中新课改和教育部考试中心大力倡导的,应予重视.
四、以直观想象立意
想象是人类大脑最奇妙的现象之一.想象是人类进行创造性思维活动最基本的思维方式.直观想象是指借助于图形(图象)、表格、模型等数学直观性材料而产生的想象.直观想象包括利用图形描述、立意与分析数学问题等.想象包括直观想象和非直观想象.立体几何承担着培养和考查空间想象能力的重任.在学习立体几何时,看图、画图、判图(判断图形)、想图(想象图形)、用图(应用图形)、构图(构造图形)等是培养空间想象素养的有效方法.数形结合是训练直观想象有效的途径.在教学中,不能只重视通过几何的学习来培养直观想象素养.教师也应适当关注非直观的想象的培养,让学生把不直观的数学对象想象成直观的对象,把直观的数学对象想象成不直观的对象,这需要非凡的想象力.
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