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浅谈代数式恒等变形的常用方法

【摘 要】代数式的恒等变形是初等数学重要知识点之一,是解决其它问题—函数及方程的重要前提和手段。其中也包含着数学观点和思维方法。学习掌握、灵活运用代数式的恒等变形,能提高运算能力和逻辑思维能力。

【关键词】代数式;恒等变形;公式法;拼凑法;代换法

【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437(2019)16-0011-02

两个代数式,如果对于字母在允许范围内的一切取值,它们的值都相等,则称这两个代数式恒等。把一个代数式变成另一个与它恒等的代数式叫做代数式的恒等

变形。

为了完成代数式的证明、求值及化简等问题,我们常要对某些代数式(或解析式)进行恒等变形。要较好地掌握代数式的恒等变形,首先要掌握代数式的相关公式、性质,并能灵活应用;其次要搞清楚该代数式变形的目的、方向和方法;第三是储备较丰富的解题实践经验。代数式恒等变形的具体手段和技巧较多,一般有配方、因式分解、换元、设参、拆项与合并等。下面结合例题从大的方面浅谈代数式的恒等变形的常用方法。

1 公式變形法

例1 若比较,

的大小。

分析:对于参数分为和两种情况讨论,分别去掉绝对值符号后再比较大小是可以的,但这种方法不简洁。

注意到,再结合一些公式的灵活变形,则可进行下列变化:

因为,所以可见

由此得证:。

评注:平方差公式大家很熟悉,但其在此题的变形目的、方向上作用不够。而由其变形公式

引出的恒等变形式却在证明中发挥了重要作用。

2 代换变形法

例2 在△ABC中,。

求证:≥

分析:如果直接把展开,再用比较法证明,太过繁杂。注意到,

都是正数,则可通过代换,令,,可知,

,于是只要证明≥即可,因为所以,≥≥可见,≥。

评注:证明不等式≥较难,但换元后的不等式≥容易证明。这体现了代换法的重要性。

3 拼凑变形法

除上面的代换变形法外,这道题还可以采用拼凑变形法来证明。

评注:在这种拼凑变形中,利用了当≥0时,的由简向繁的变形式,其目的在于使根号内形成偶数个因式,以便两两结合产生不等效果。在各种恒等变形中,拼凑变形用得最普遍、最灵活。

代数式的恒等变形在数学各分支、各章节中有广泛用途,但恒等变形的知识、方法却不能在某章、某节就能完全阐述,只有从代数的全局看问题,把恒等变形与计算能力、逻辑思维能力联系起来,把解题与提高数学素质联系起来,才能进一步看清恒等变形的重要性,也才能更好的掌握恒等变形的技法。

【作者简介】

白祥福(1964~),男,成都大学信息科学与工程学院副教授,研究方向:应用数学、中学数学、高等数学教育与教学。

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