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泰勒中值定理的应用探究

【摘 要】泰勒中值定理是高等数学中的一个非常重要的定理,其应用极其广泛,但是由于其内容较为复杂,加之授课时少,教师在应用方面讲授的内容不多,遇到这类题学生往往望而生畏。本文从多个方面就如何应用泰勒中值定理进行了探究,以期起到抛砖引玉的作用。

【关键词】泰勒中值定理;拉格朗日型余项;皮亚诺型余项;麦克劳林公式;应用;探究

【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437(2019)16-0014-02

泰勒中值定理是高等数学中的一个非常重要的定理,在近似计算、深刻表達函数形态、求极限、理论证明等方面有着十分广泛的应用。本文从以下多个方面探究如何应用泰勒中值定理。

1 泰勒中值定理内容

设函数在含有的开区间(a,b)内具有直到阶导数,则当时有:

其中余项有两种形式:第一种,拉格朗日型余项;第二种,皮亚诺形式余项。带有皮亚诺型余项的麦克劳林公式为。

2 泰勒中值定理的应用

2.1 利用泰勒中值定理拉格朗日型余项求近似值

泰勒中值定理在近似计算中可以使函数的近似值更加精确,而且可以进行误差估计。

例1 求精确到0.000001的近似值。

解 由泰勒中值定理得的展开式:

,令得

,从而有,进而得。为了使<0.000001,只要取。

现取,即得数的精确到0.000001的近似值为。

2.2 利用泰勒中值定理求极限

带有皮亚诺型余项的麦克劳林公式在计算复杂的不定式极限方面十分有效。

例2 计算 。

解 因为,,

所以,从而。

2.3 利用泰勒中值定理求高阶导数

当用求导公式求函数的阶导函数较为复杂时,可以根据泰勒展开式的唯一性求。

例3 已知,求及。

解 由泰勒中值定理得

由得展开式得的展开式

从而②

比较①②同次幂得系数得:,,,,,,,

,……。由于②式中的偶次幂的系数为零,所以,;当时,,于是,得。

2.4 利用泰勒中值定理证明等式

例4 设在上可导,试证:在内至少存在

一点ξ,使得。

证明:设,则,由泰

勒中值定理带有皮亚诺型余项的麦克劳林公式得:,令,得

,即。

2.5 利用泰勒中值定理证明不等式

利用泰勒中值定理证明存在某ξ满足的一些不等式也十分奏效。

例5 设在上具有二阶导数,且,试证:至少存在一点ξ∈(0,1),使得。

证明:将函数分别在和处泰勒展开,则存在和,使得,,因而有,

两式相减得:,从而有≤,取。

则有≥。

以上从五个方面举例探究了泰勒中值定理的一些应用,其应用远远不止这些,本文仅起到抛砖引玉的

作用。

【参考文献】

[1]同济大学数学系.高等数学(第六版)[M].北京:高等教育出版社,2007.

[2]高等数学(上)(第二版)[M].北京:科学出版社,2018.

【作者简介】

邹全春,成都大学信息科学与工程学院,讲师。

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