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概率学习中的直觉规律与错误

张伟华 郜舒竹

【摘   要】在我国小学数学课程中,“概率”也叫作“可能性”。通过文献梳理,总结出学生在概率学习过程中容易出现的一些常见错误,其原因是这一内容会呈现出反直觉(Counter Intuitive)特征,这与学习者所习惯的直觉规律(Intuitive Rule)是相悖的。教师在了解学生直觉规律的特点后,可以预见学生的判断,亦可利用学生的误解来改善教学。

【关键词】概率;可能性;直觉规律;错误

我国小学数学课程中,“概率”也叫作“可能性”。已有研究表明,学生在概率这一内容的学习过程中容易出现一些常见错误,其原因是这一内容会呈现出反直觉(Counter Intuitive)特征,这与学习者所习惯的直觉规律(Intuitive Rule)是相悖的。

一、什么是直觉规律

直觉规律是人们在看待问题时所遵循的,具有普遍性的直觉思维方式。通过研究学生的直觉规律,可以解释学生在数学学习中发生常见错误的原因。斯塔维和帝罗什等人在对学生直觉的研究中,提出了“越—越”(More-More)直觉规律。在比较两个事物时,会因为事物在A量上的不同(A1>A2),导致在比较另一个B量时,出现B1>B2的判断。[1]例如在图1中,比较两条线段的长度时,直觉上会认为上面线段的长度更长,理由是上面线段的总长度看起来更长,所以这条线段也就更长。

皮亚杰在对学生直觉的研究中也对学生做过类似的实验。如图2所示,现在有上、下两排小圆圈,问哪排圆圈个数比较多?有学生发现两排圆圈排列长度不一样,就认为长度比较长的圆圈个数多,出现了“长度越长,个数越多”的误解。

皮亚杰还发现,4到9岁的儿童在判断时间跨度问题时,会认为更快的事件用的时间更多。这表明,当两个动作产生不同的量时,孩子会认为产生更多量的事件用的时间越长。比如,有两辆不同速度的玩具车,儿童会认为跑得快的车用的时间多。误以为速度越大,花费的时间越多;或误以为距离越长,花费的时间越多。皮亚杰对此解释为:当比较两个持续时间时,孩子们常常只根据两个相关因素之一——速度或距离来进行判断,因为幼儿无法协调所涉及的各种变量,通常是根据其中一个变量来确定时间。[2]

类似的还有“同—同”(Same-Same)直觉规律。在比较两个事物时,会因为事物在A量上相同(A1=A2),导致在比较另一个B量时,出现B1=B2的判断。[3]例如,斯塔维等人对学生做过这样一个测试:有两个杯子,其中,一个杯子有半杯水,另一个杯子有一杯水,在这两个杯子中都加入一勺糖,问哪个杯子里的水比较甜?有很多学生都认为两杯水一样甜,原因是学生觉得加入的糖是相同的,所以水的甜度也是相同的。实际上,水少的那杯会比较甜,学生没有考虑水的多少,只是认为糖一样多就一样甜。学生出现这种错误的原因就是遵循了“同—同”直觉规律,产生了“同样多的糖—同样甜”的误解。

斯塔维等人在研究中发现,当学生被问到两个事物中B1和B2的大小或性质时,很容易受到另一个A量的影响,做出错误的回答。例如在图3中,有一个长方形甲,将它的长扩大3倍,宽缩短3倍,变成长方形乙。当问学生如何判断甲、乙两个长方形的周长大小关系时,多数学生会认为长乘3,宽除以3,都是3倍的关系,所以相互抵消,从而出现甲、乙两个长方形周长相等的错误判断。[4]学生在解答这个问题时出现错误的原因也是遵循了“同—同”直觉规律,产生了“同样变化3倍—同样周长”的误解。

除此之外,还有“不同—不同”直觉规律。例如抛一枚硬币三次,出现一次正面向上的可能性和两次正面向上的可能性是否相同?有学生会认为不同。因为一次和两次不同,所以一次向上和两次向上的可能性也不同。实际上,这两种结果的可能性是相同的,学生可以通过分数乘法计算出结果,也可以通过分析正、反面向上的情况来得出结论。

二、直觉规律的特征

斯塔维和帝罗什在研究中发现,直觉规律具有“自信性(confidence)”“顽固性(perseverance)”“整体性(globality)”“强制性(coerciveness)”“可预见性(predictive power)”等特点。对于很多问题,学生只是根据事物的表面特征来判断,他们会对自己看到的事物深信不疑,这种自信往往会造成他们在判断问题时产生误解。[5]而且在一些问题中,即使学生知道了正确答案,还会坚持自己的想法。直觉规律的强制性体现于学生在日常的生活和学习中,会根据已有的生活、学习经验不断认可自己的直觉规律,面对新的学习任务时,习惯性地使用这种规律,就很容易出现错误。直觉规律的整体性是指学生对任务的认知方式,学生关注任务本身的整体特征,通过直接感知事物特征得出结论,而不是通过逻辑分析来进行判断。此外,直觉规律还具有很强的预测能力。教师在了解学生直觉规律的特点后,能够从学生的思维层面了解他们在数学学习中的误解,可以预见学生的判断。教师可以在学生产生类似的误解前,通過合适的教学方式来预防学生出现同样的错误,从而能够利用学生的误解来改善教学。

三、直觉规律与概率学习中误解的关系分析

在对学生的测试中,菲茨拜因发现,学生常常因为遵循直觉来判断问题导致出现误解。因此,他在研究中设计了很多有关概率内容的测试,目的是调查学生在概率问题中出现的直觉思维。比如在经典的摸球实验中,他给学生出示甲、乙两个盒子,其中,甲盒子中有1个白色弹球和3个黑色弹球,乙盒子中有2个白色弹球和6个黑色弹球,问学生哪个盒子更容易摸到黑球?调查发现大多数学生选择了乙盒子,因为乙盒子中有更多的黑球。学生会认为在黑色弹球更多的盒子中拿到黑球的机会更大,而没有考虑白球的影响。这说明对于小学生而言,绝对的“量”的多少对于偶然事件的概率是决定性的。学生出现这种思维符合直觉规律中的“越—越”规律,认为黑色弹球越多的盒子,从中摸到黑色弹球的可能性越大。

皮亚杰和伊勒海德对学生的概率理解做过全面的研究。儿童对概率的认识主要经历三个阶段。一是前运算阶段(7~8岁之前),儿童不能区分因果事件和随机事件,他们认为没发生的事件更有可能发生。二是具体运算阶段(7、8岁~12岁左右),儿童能区分必然事件、可能事件和不可能事件,开始明白概率是有大小的,但还不能具体计算出来。对于不放回的实验,儿童经常忽略整体的变化,没有考虑到整体与个体的比例是变化的。最后是形式运算阶段(12岁左右开始),儿童能将逻辑和随机概念统合起来,对一些复杂概率问题能做出判断,并能准确计算一些问题的可能性大小。[6]

皮亚杰和伊勒海德做过一个摸球实验:有两个一样的袋子,里面分别放着数目不等的黑球和白球,现要从中取出黑球,问选择哪个袋子更容易摸到。经过测试他们发现:处于具体运算阶段的儿童往往只是考虑颜色球的数量,而忽视了所有颜色球的总数。例如,大多数儿童只是考虑哪个袋子中的黑球比较多,而没有考虑到总的球数有多少,也就是没有考虑其他因素的影响。处于形式运算阶段的儿童能明白部分和整体的关系,这是理解概率知识的基础,他们能够计算一些简单随机事件的概率并用分数表示,例如他们能用分数表示出黑球占总球数的几分之几,再进行比较。

格林在对学生比较概率大小的研究中做过类似的摸球实验:从两个袋子中取出某一种颜色的球,问选择哪个袋子更有利。通过改变两袋中不同颜色球的比例,来了解学生的想法。通过实验,他总结了学生常见的几种选择策略:一是选择小球总数多的那个袋子;二是选择目标颜色球数量多的袋子;三是选择不同颜色球数量差大的袋子;四是选择不同颜色球数量之比大的袋子。[7]这四种策略体现了学生四种不同的想法,而且都可以用直觉规律中的“越—越”规律来解释。

以色列学者斯塔维、帝罗什等人重点研究了学生在数学问题中遵循的直觉规律。为了了解学生在概率中的错误原因,他们同样设计了摸球实验,经过调查发现大多数学生选择了目标颜色球更多的箱子。对此,他们的解释为学生遵循了“越—越”直觉规律,误以为黑球越多摸到的可能性越大。[8]在此实验的基础上,斯塔维、帝罗什和鲁文(Reuven Babai)又设计了两组摸球实验。其中一组实验与上述的摸球实验类似,在黑球多的盒子中摸到黑球的可能性并不高,学生同样容易出现“越—越”直觉的错误;另一组实验与之相反,在黑球多的盒子中摸到黑球的可能性大。这个对比实验的目的是既解释了学生容易出现的直觉规律误解,还研究了反应的准确性与反应时间的关系。当直觉规律与实验结果相符时,学生的反应准确率高,反应时间更短。[9]

英国学者彼得·布莱恩特和努涅斯在“儿童对概率的理解”文章中针对15岁的学生设计了类似的摸球实验,目的是研究高年级学生对概率的理解。结果发现多数15岁的学生都做出了错误的选择。研究者认为孩子出现错误是因为忽略了白球与黑球比例的关系,如果能考虑到比例的问题,就会更好地理解概率。[10]由此可见,摸球问题不仅在低年级学生中容易出现错误,在较高年级的学生中也会出现错误。这说明,学生在概率问题中容易忽视比例的影响,依据直觉选择了目标球数量多的袋子,从而出现了符合“越—越”直觉规律思维的错误。

学生在概率问题中除了出现上述的直觉规律外,“等可能性”偏见也是概率中的主要错误之一。等可能性在掷骰子、抛硬币等游戏中很常见,表示一次试验中每一种结果发生的可能性都相等,儿童就会自然地认为类似的随机事件可能性都是相等的。勒库特等人在研究中设计了一个掷骰子问题:同时抛两颗标准的骰子,出现一个5和一个6的可能性大,还是出现两个6的可能性大?他们发现,多数学生认为两种结果的可能性一样大。有些学生给出的理由是:假设一颗骰子已经掷出了6,那么另一颗骰子出现5和6的机会是一样大的,所以掷出一个5一个6和两个6的可能性相同。有些学生直接认为掷一颗骰子出现5和6的可能性一样,都是六分之一,在两颗一样的骰子中出现5和6的机会都是一样的。还有些学生认为这类随机事件的可能性是相等的,出现哪种结果完全靠运气。[11]这几种学生所出现的思维都符合“同—同”直觉规律,即点数5和6的可能性相同—出现一个5一个6和两个6的可能性相同,或同样是随机事件—发生的可能性是相同的。

关于学生错误理解概率的研究中,克诺德发现:有些学生会将可能性很大看作必然发生,可能性很小看作必然不发生,50%可能性看作不知道或不能确定。他将这种错误现象定义为“预言结果法”。[12]这种错误的特点是,学生将概率看作一种预测,在每次试验结束后会判断说某一概率是对了还是錯了。比如,某些学生会认为80%的机会下雨的意思就是将要下雨。出现“预言结果法”错误理解的学生会因为日常生活中出现的现象是确定的,比如某一天能确定到底下没下雨,如果下雨,那么下雨的可能性就很大;如果没下雨,下雨的可能性就很小,而把已经确定的现象和概率联系在一起,但如果把这种“经验”用到还没发生的事情上,也就必然会出现对问题的误解。

除了“越—越”直觉规律,学生是否会出现其他的直觉规律呢?如图4所示,在一个摸球游戏中,一个箱子中有两个白球、三个黑球,现在向箱子中再放入两个白球和两个黑球,问:现在从箱子中摸到黑球的可能性相对之前怎么变化?

通过对学生直觉规律的研究,可以做出这样的推测:学生可能会认为可能性不变,因为放入的白球个数和黑球个数相同,根据“同—同”直觉规律,放入同样多的球,摸球的可能性不变。可能还有部分学生认为摸到黑球的可能性变大,因为黑球的数量增加了,根据“越—越”直觉规律,黑球越多,摸到黑球的可能性越大。

参考文献:

[1]Stavy, R. & Tirosh, D. Intuitive rules in science and mathematics: The case of “More of A-More of B”. [J]. International journal of Science Education,1996,18:653-667.

[2]Stavy, R. & Tirosh,D.How Students Misunderstand Science and Mathematics: Intuitive Rules. [M].New York: Teacher College Press, 2000.

[3]纪宗秀.从直观法则分析学生的迷思概念及概念改变的研究[D].国立花莲师范学院,2005.

[4]林原宏,郭竹晏.国小学童数学直觉法则之认知评量分析与性别差异探讨[D].教育研究发展期刊,2010,6(4):105-136.

[5]Tirosh, D. & Stavy, R. Intuitive Rules: A Way to Explain and Predict Students Reasoning [J]. Educational Studies in Mathematics, 1999,38:51-56.

[6]Piaget, J. & Inhelder, B. The origin of the idea of chance in students [M]. New York: Norton, 1975:220-229.

[7]Green. D. R. A Survey of probability concepts in 3000 pupils aged 11~16 years[M] //E. Grey D R, Holmes P, Barnett V, Constable G M. Proceedings of the First International Conference on Teaching Statistics[M]. Volume 2. Sheffield, U.K. : Teaching Statistics Trust, 1983:766-783.

[8]Tirosh, D. & Stavy, R. Intuitive Rules: A Way to Explain and Predict Students Reasoning [J].Educational Studies in Mathematics, 1999, 38:51-56.

[9]Babai, R. & Brecher, T. et al. Intuitive Interference in Probabilistic Reasoning. [J]. International Journal of Science and Mathematics Education, 2006,4:627-639.

[10]Bryant, P. & Nunes, T. Childrens understanding of probability.[J]. Nuffidld Foundation. 2012:34-36.

[11]Lecoutre, M. P. Cognitive models and problem spaces in “purely random”situations [J]. Educational Studies in Mathematics, 1992, 23(6): 557-568.

[12]Konold, C. Informal conceptions of probability[J]. Cognition and Instruction, 1989, 6: 59-98.

(首都師范大学初等教育学院   100048)

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