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“面积公式推导”教学序列思考与实践

一、现象检视与思辨

基本平面图形面积,课程标准在第一、二学段分别给出了“探索并掌握长(正)方形的面积公式”“探索并掌握三角形、平行四边形和梯形的面积公式”“探索并掌握圆的面积公式”的教学目标要求。相应地,国内教材就平面图形面积公式的教学内容编排分为三个阶段:第一阶段为长方形面积公式,第二阶段为平行四边形、三角形和梯形面积公式,第三阶段为圆的面积公式。其中,第二阶段多数教材以“多边形面积”为单元,涵盖三种基本图形面积公式的推导和应用。这一单元的学习,是学生感悟“转化”等数学思想、积累数学基本活动经验、落实逻辑推理等学科核心素养的重要载体与关键阶段。

“多边形面积”单元编排,国内教材都采用了“平行四边形的面积—三角形的面积—梯形的面积”公式探索的序列,转化的基本活动经验路径为:先从平行四边形面积公式推导中形成转化思路,学会剪拼法(割补为长方形);再从三角形面积公式推导中重点学会倍拼法(用两个全等的三角形拼成平行四边形);最后重点运用倍拼法推导出梯形面积公式。实际教学表明,这种转化经验的学习路径存在以下缺陷:

推导方法单一,开放度不高。三种图形的面积公式推导,都只对剪拼法或倍拼法的其中一种方法展开主要探索,方法单一。即使部分教材在三角形面积公式推导中对剪拼法进行了补充介绍,也只是加以了解,侧重的依然是倍拼法。

暗示性强,学生自主探索空间不大。在进行平行四边形、三角形面积公式探索时,教师往往会提供或要求学生自备剪刀、两个一样的三角形等学具材料,带有很强的暗示性,削减了学生自主探索的空间。

转化方法之间切换跨度大,容易产生认知混乱。跨度之一是平行四边形转化为长方形,学生很难自发想到剪拼法,缺乏转化的心理准备和方法准备。跨度之二是三角形转化为平行四边形,学生很难自发从原有经验的剪拼法向倍拼法转身。

针对上述缺陷,也不乏相关课例就学习材料、学习路径改进的研究成果。笔者认为,本单元的面积公式推导,不能局限于单个课例的改进思考,需要基于转化经验的激活、形成、应用的序列视角对整个单元教学进行系统分析。

国内教材,一直是把“平行四边形的面积”作为单元的起始课和转化推导的种子课,甚至让我们形成了“必须先教学‘平行四边形的面积才可以教学‘三角形的面积”的思维定势。平行四边形虽然转化思路起点较低,但转化方法单一。而三角形面积公式推导要比平行四边形复杂得多,主要体现在富有较大的挑战空间和转化方法的多样性上。为此,要实现单元面积公式探索空间的进一步开放,理应把“三角形的面积”作为单元起始课和种子课,在第一时间同时激活、提炼剪拼法和倍拼法,为后续其他图形面积的转化做好方法准备。

那么,学生对三角形面积公式探索又有多少可行性呢?笔者选取了奉化区某城区小学五年级4个班150名学生,分两组进行了不同内容和要求的前测。

第一组前测对象为已经学完“平行四边形的面积”一课的72名学生,要求“限时10分钟,通过多种方法分别求出方格图中直角三角形、锐角三角形、钝角三角形的面积”。统计结果显示,直角三角形采用剪拼法占比88.9%、倍拼法占比48.6%,锐角三角形采用剪拼法(剪拼为长方形或平行四边形)占比36.1%、倍拼法占比6.9%,钝角三角形采用剪拼法和倍拼法均为0。数据一方面表明,在方格图支持下,近半数学生对直角三角形能够采用剪拼法、倍拼法两种方法进行探索;另一方面表明,学生对已有的经验方法不善于反思提炼和迁移运用,如倍拼法没能从直角三角形迁移到钝角三角形和锐角三角形。

第二组前测对象为没有学习“平行四边形的面积”一课的78名学生,要求“限时3分钟,通过多种方法求出方格图中直角三角形的面积”。统计结果为,采用剪拼法(剪拼为长方形)占比46.2%,采用倍拼法(倍拼为长方形)占比44.9%。这组数据表明,学生对直角三角形转化经验储备较为丰厚,在没有经历平行四边形面积公式推导的背景下,能对直角三角形面积自发产生较强的转化意识,自发呈现剪拼、倍拼两种转化方法。

从前测分析可以得出,单元面积公式推导先从三角形开始探索是可行的。考虑到学生转化经验差异和认知跨度,三角形的面积教学建议划分为“直角三角形的面积”和“一般三角形(锐角三角形和钝角三角形)的面积”两课时,前一课时重在激活经验、提炼方法,为一般三角形的面积探索提供思路与方法;后一课时重在经验积累、形成方法,为平行四边形、梯形面积探索提供方法应用与推广的支持。

需要补充说明的是,韩国教材和台湾地区教材,面积公式推导序列并非是从平行四边形开始的,而是先教学“三角形的面积”,再教学“平行四边形的面积”。这一事实依据也表明面积公式推导序列是动态的,完全可以基于学情进行单元整合,为公式推导提供更大的探索空间。

二、序列重组与定位

序列重组,是指基于整个单元,重新编排课时教学内容,构建单元面积公式推导教学新序列,优化学习路径,进一步提升面积公式探索的自主性与进阶性。重组后的单元教学序列,一方面强调转化经验的激活、积累与推广,另一方面强调转化方法的提炼、内化与应用。

筆者所在的研究团队,选取人教版教材进行了单元序列重组。“多边形面积”整个单元共编排了五个例题,其中前三个例题分别为平行四边形、三角形和梯形的面积,后两个例题是组合图形和不规则图形的面积。序列重组主要针对前三个例题(例1、例2、例3)与配套的三个练习(练习十九、练习二十、练习二十一)展开讨论,后两个例题及相关练习均保持不变。

教材序列(以下简称原序列),前三个例题与配套练习等教学内容一般安排六课时,其中新授、练习各为三课时。序列重组(以下简称新序列),保留“平行四边形的面积”“梯形的面积”课时内容,将原序列“三角形的面积”一课划分为“直角三角形的面积”和“一般三角形的面积”两课时,共计新授四课时、练习两课时,总课时数依然不变。原序列和新序列的具体课时内容对照如表1。

新序列有两个基本要点:一是剪拼法和倍拼法并重、整体推进,将两种方法在本单元一以贯之;二是选用学生经验最为厚实的图形切入公式探索,降低转化方法的认知跨度,力求经验激发的自主性和方法形成的进阶性。

在这一思路下,剪拼法、倍拼法两种转化方法在学习路径上表现为“起于特殊,成于一般,应用于同类”,也即在直角三角形中激活经验、提炼方法,在一般三角形中积累经验、形成方法,在平行四边形和梯形中推广应用、整体沟通。

具体到新序列各个课例的目标定位,简述如下(表2)。需要指出的是,依然保留的“平行四边形的面积”“梯形的面积”与原序列相比,课时目标发生了一定变化。“平行四边形的面积”,除了剪拼法转化,还扩充了将平行四边形分割成两个三角形,以三角形面积公式为基础,通过“底×高÷2×2”推理得出平行四边形面积公式。“梯形的面积”,视作多边形面积问题解决,鼓励学生充分运用已有面积公式进行多种路径探索,并通过梯形、平行四边形、三角形图形之间的变化关系,沟通三者之间的联系,进一步形成面积公式推导的整体方法意识。

2.认识剪拼法和倍拼法,初步掌握公式推导的基本步骤与方法,渗透转化的数学思想方法 一般三角形的面积 1.自主尝试用剪拼、倍拼方法探索锐角(钝角)三角形的面积计算公式,归纳得出三角形面积公式,理解公式含义,能利用公式正确计算三角形的面积

2. 进一步积累转化经验,理解和掌握“转化图形—寻找联系—推导公式”的基本步骤与方法,初步学会公式推理表达,培养和发展学生的推理能力与空间观念 三角形的面积练习 1.通过算一算、画一画、辨一辨等活动,能比较熟练地运用公式计算三角形的面积,感受高与底的对应性,会解决已知面积与底(高)求出高(底)的实际问题

2.经历观察、计算、比较等活动,知道同底等高三角形面积相等,认识等积变形,体会图形之间的关系 平行四边形的面积 1.通过切割、剪拼等活动,经历平行四边形转化为长方形、三角形的自主探索过程,理解平行四边形面积的计算公式并能正确计算

2.培养学生观察、比较、分析、推理等能力,同时渗透变与不变、转化等数学思想方法 梯形的面积 1.自主尝试用不同方法探索梯形面积的计算公式,理解“(上底+下底)×高÷2”的含义,能运用公式计算梯形面积

2.通过梯形与三角形、平行四边形的比较,体会图形之间的联系,进一步培养和发展学生推理能力与空间观念 平行四边形和梯形的面积练习 1.沟通三角形、平行四边形、梯形面积间的关系,深化公式理解;能比较熟练地运用面积公式解决相关实际问题

2.通过图形的分割、拼组等活动,进一步感知转化思想,发展空间观念 ]

三、实验研究与启示

(一)实验基本情况

1.实验样本对象

宁波市奉化区两所城区小学,每所小学各选取五年级两个平行班,其中一个班为对照班,一个班为实验班。两所小学共有对照班两个,学生78名(原来学业水平合格70名);实验班两个,学生79名(原来学业水平合格73名)。本次实验只对原来学业水平合格学生的数据进行统计分析。

2.实验研究方法

以整个单元为研究周期,选派骨干教师分序列教学,对照班采用原序列,实验班采用新序列。整个单元教学结束后,对照班和实验班统一进行后测分析。针对不同学业水平等级的学生群体差异,研究中把对照班、实验班的学生划分为合格、良好、优秀三个等级,其中合格人数占比15%,良好人数占比40%,优秀人数占比45%。

3.测查内容说明

面积公式推导认知水平测查,分为公式应用、公式推导再现、新图形面积探究三个维度。公式应用,侧重考查面积公式程序运作、公式变式记忆和底高对应记忆水平;公式推导再现,侧重考查基本图形公式含义理解、公式推导说理水平;新图形面积探究,侧重考查新图形转化方法的类比迁移水平。

(二)实验结论与启示

1.实验班在公式推导再现维度占据优势,反映新序列学习转化的基本活动经验更为厚实,推理能力得到明显提升

测查数据显示,对照班和实验班在公式应用维度没有明显差异,但在公式推导再现维度实验班存在较大优势。

测查题中提供了底6高4的三角形,要求学生画出“6×4”表示的图形,并给出这个三角形剪拼法转化的示意图(图1),要求学生写出推导过程。学生推导能力水平划分为四个层级:水平0,错误或没作答;水平1,只提到将三角形转化为长方形;水平2,说明三角形的底和长方形的长相等,三角形的高的一半和长方形的宽相等;水平3,完整表达推导说理过程(图2为学生作品)。

实验班优势一,三角形转化的路径更为多元。画出“6×4”表示的图形,反映的是对三角形倍拼后图形种类的认知。对照班转化为平行四边形占比95.4%,长方形占比4.6%;实验班转化为平行四边形占比62.5%,长方形占比37.5%。实验班对转化的两种图形选择更为均衡。实验班优势二,三角形剪拼转化的公式推导说理能力水平更高。推导能力水平3,对照班占比30.0%,实验班占比57.5%,实验班优势明显,近60%的学生表现了较强的逻辑推理能力。

这两处优势,都证实了新序列在公式推导的含义理解、转化路径和说理水平方面有更为充分而深刻的体验,学习路径得到优化。

2.实验班在新图形面积探究维度存在优势,反映新序列学习发挥了经验迁移的作用,特别是对低起点的学生产生较为明显的影响

新图形面积探究维度,安排了圆的面积公式推导,要求学生画一画、写一写转化和推导的想法。探究能力水平划分为四个层级:水平0,错误或没作答;水平1,只提到转化为已学图形,没有转化说明或图示;水平2,给出圆和正方形或三角形進行转化的图示,没有转化说明或说明不清晰;水平3,给出把圆分割成多个三角形转化的图示,并有初步推导思路。对照班和实验班的整体数据如表3,不同学业水平等级的群体数据如表4。

表3显示,实验班在整体上要略优于对照班,在水平0的占比上优势较为明显。从表4可以看出,三个等级学生在水平3上占比基本持平;学业水平合格、良好等级的实验班学生,在水平0~水平2之间有较大幅度提升。分析可知,对于学业水平起点较低的学生,新序列的学习更有利于增强转化意识,更有利于面积公式推导方法的形成与类比迁移。

参考文献:

[1] 宋煜阳.基于学情,让探索真正发生——“三角形的面积”教学思考与实践[J].教学月刊·小学版(数学),2018(5):34-38.

(浙江省宁波市奉化区教师进修学校   315500)

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