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基于数学核心素养下的数学探究课教学

王赢赢

[摘  要] 数学核心素养反映了数学的本质与数学思想,是在数学学习过程中形成的,具有综合性、整体性和持久性. “探究与发现”更能完整体现核心素养的价值. 文章基于核心素养的课堂研究,结合核心素养的文化理念,以教材中的探究课为载体,具体探究了实现高中数学课堂教学中核心素养培育的主要过程和方法,明确其实际价值.

[关键词] 数学;核心素养;探究

在新一轮课程改革中,《普通高中数学课程标准》提出了数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析六大核心素养. 张奠宙教授指出,数学核心素养包括“真、善、美”三个维度. 所以数学核心素养最终的表现,就是把所学的数学知识都排除或忘掉后剩下的东西,即能从数学的角度看问题,有条理地进行理性思维、严密求证、逻辑推理和清晰准确表达的意识与能力.

[?]教材分析

数学史是研究数学概念、数学方法和数学思想起源与发展及其与社会、经济和一般文化联系的一门学科,它反映了数学发展的脉络与本质. 《普通高中数学课程标准(实验)》中指出通过数学史的学习使学生“体会数学对人类文明发展的作用,提高学习数学的兴趣,加深对数学的理解,感受数学家的嚴谨态度和锲而不舍的探索精神.” 数学课程标准已把数学史作为理解数学的一种有效途径,成为数学教学的一种工具,也是培育数学核心素养的必要载体. 以下以高中数学人教A版选修2-1教材中《为什么截口曲线是椭圆》为例阐述核心素养的培育在数学史教学中的一些体现和作用.

[?]学情分析

学生在掌握了椭圆的定义和性质后,结合生活实际经验,对本节课的内容并不陌生.但一句“为什么截口曲线是椭圆”,就足以让沟通陷入僵局. 所以,从知识储备到思考习惯,孩子们都不太习惯这样的探究课的模式. 借班(市重点学校的重点班)上课,孩子们思维活跃,数学基本功良好,善于表达,但是遗憾的是对孩子们的个体情况了解不够准确,也有一些不敢放手.

[?]教学目标

1. 通过生活实验,了解截口曲线的不同类型;

2. 结合Dandelin双球法,理解截口曲线为椭圆的证明过程;

3.了解圆锥曲线简单的发展史,以及在学习和生活中的应用.

重点:理解截口曲线为椭圆的证明过程.

难点:Dandelin双球证法中的辅助线添法.

(在新的数学课程目标中,特别强调发展学生发现、提出问题与分析、解决问题的能力.在基于数学核心素养的课堂教学中,关于教学目标的设置,更加侧重于学生的体验和思维流程.所以,实验是必须的,学生的发散思维会有所体现,圆锥曲线的发展史和Dandelin双球法,这也成为关注的重点.)

[?]教学过程

(一)创设情境

众所周知,哲学的三大问题是:我是谁?我从哪里来?我将要到哪里去?数学离不开哲学.根据前面的学习,借助视频中椭圆的多种画法,我们站在椭圆的角度,再来问一次这几个问题:椭圆是什么?椭圆从哪里来?椭圆将要到哪里去?本节课我们将学习教材第42页探究与发现“为什么截口曲线是椭圆”.既然是“探究与发现”,我就更希望同学们在学习的过程中勇于探究、敢于发现,并能乐于分享. 让我们从一个小小的数学实验开始今天愉快的探究发现之旅.

(创设合适情境是基于数学核心素养教学的关注点.首先要对“情境需要”有个全面的认识,包括实际情境、科学情境、数学情境、历史情境.情境选择的基本原则是便于理解学习内容和要完成的任务,循序渐进,进而考虑激发学生的兴趣和热情. 这里的创设情景既激发好奇心,调动学习兴趣,又体现了数学的哲学性,包含了三个圆锥曲线的相互联系.借班上课,在情感沟通的同时,也对学生进行了强有力的学法要求和指导.)

(二)情景体验

每个小组桌面上都有准备好的实验器材:萝卜和小刀、圆柱形容器、圆锥形容器、手电筒和小球以及投影白纸,接下来我们完成实验,观察截口曲线的形状[1].

要求:各小组由组长分工,每人做一个实验,全组共同观察讨论截口曲线;小组内依次演示、记录,并讨论汇总实验结果,完成导学案上的表格内容.

(设计意图:直观想象,在实验过程中所有的争论和想象,都百闻不如一见,特别是临界情况. 在实验过程中,拓宽视野、印证猜想,了解概念的来龙去脉,更好地理解事物间的相互联系,提高和发展学生的能力.)

小组展示实验过程,汇报实验结果:

圆柱的截口曲线:圆、椭圆、直线;

圆锥的截口曲线:两条直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线.

学生意见分歧:当截面倾斜到一定程度,截面与母线平行时,截口曲线还能是封闭的曲线吗?

(设计意图:课堂教学过程中,这个环节的设计是调动学生的一个很好的契机,也是思维碰撞认知冲突的一个地方.从形式上,课堂氛围空前高涨;在思维上,交流和表达能促进进一步的思考和探索的欲望,思考三个圆锥曲线间的本质联系.)

师:同学们,刚才大家合作探究的实验发现都很棒!我觉得有两点非常值得表扬:第一、合作很棒:取长补短、提高效率;第二、成果很棒:勇于探究敢于发现,从特殊到一般,得到的结论都是里程碑的结论.

其实,刚才我们这个实验过程,在很早的时候人们也在执着地探求着更为广泛的一般结论. 我国古代数学把椭圆称为“长圆”“斜圆”,也能够说明一些特征.而历史上把这个实验做得赫赫有名的是阿波罗尼奥斯.

阿波罗尼奥斯是古希腊与阿基米德、欧几里得齐名的三大数学家这一,同时他还是天文学家、哲学家、思想家.他在前人研究的基础上,大胆想象,勇于探究敢于发现,由特殊到一般,不屈不挠地发扬数学的一般化精神,研究归纳出圆锥的截口曲线的结论,分别把不同位置的截口曲线称作:亏曲线、齐曲线和超曲线,后来被称之为椭圆、抛物线、双曲线,并撰写了数学史上登峰造极的巨著《圆锥曲线论》.通过一个动画来了解一下:

动画视频简介:阿波罗尼奥斯之所以伟大,原来是他做媒,让平面与圆锥面相爱了,有了爱的结晶:漂亮的女儿——圆,帅气的儿子——椭圆、双曲线、抛物线.圆太漂亮,性质特殊堪称完美,后来出嫁另立门户;而椭圆、双曲线、抛物线三兄弟在以后的两千多年里一直熠熠生辉,至今,他们还是随父姓,所以本章叫“圆锥曲线与方程”.既然是一奶同胞三兄弟,从遗传学的角度来说,既有遗传也有变异,所以这三种不同的圆锥曲线既有共性联系,又有个性区别,我们在后面常采用类比的方法学习和使用.

阿波罗尼奥斯的结论:

设圆锥轴截面母线与轴的夹角为α,截面和圆锥的轴的夹角为β,当截面不过顶点时,

(1)当β=α时,即截面和一条母线平行时,交线是抛物线;

(2)当α<β<时,即截面不和母线平行,且只和圆锥面的一叶相交时,交线是椭圆. 特别地,当β=,即截面和圆锥面的轴垂直时,交线是圆.

(3)当0≤β<α时,即截面不与母线平行,且和圆锥面的两叶都相交时,交线是双曲线.

(设计意图:编这个贴近生活而生动活泼的故事,让孩子们对圆锥曲线的学习更有兴趣、也更容易理解. 生动的动画勾勒出三个圆锥曲线的共性联系与区别特点,更宏观地展示了数学知识的产生过程和相互联系.)

根据这个结论,我们得到的截口曲线是椭圆.可是,我们学习的椭圆的定义是什么呢?

师:我把两个焦点当作椭圆的“眼睛”,其重要性不言而喻.

轨迹定义是1579年蒙蒂提出来的,当然这个从运动变化的解析角度定义更加方便定量描述. 从轨迹定义的角度来看,我们观察到的椭圆是椭圆吗?截面定义和轨迹定义有矛盾吗?需要从定义出发,从“数量”角度对“图形”的感觉加以说明.

历史上有很多人尝试用纯几何的方法证明,而最为精妙的是Dandelin双球法.我们一起来探究学习大师之作.

(设计意图:看到的是椭圆形状,但是跟我们所学的椭圆的定义看起来又没有多大联系. 数学的结论必须经过严谨的证明. 强烈的思维碰撞,课堂这时需要留白,虽然并不能完全解决证明的过程,但不可忽视学生的思考和猜想.)

(三)探究证明

以刚才实验中点光源照射小球的投影为例,大家发现这个模型:点光源射出的光线当作圆锥,球与圆锥面和投影面都相切,球的影子事实就是投影面作为截面截圆锥的截面[2].

问:根据椭圆的定义,证明的思路是什么?

生:由定义

PF1

+

PF2

=2a(2a>

F1F2

),则需要定点(焦点)、定长.

问:在椭圆面上,焦点在哪里?也就是椭圆的“眼睛”,能找到吗?(停顿)……如果找不到也别灰心,历史上也不曾有几个人找到过. 现在有前人的经验,根据椭圆的定义,焦点应该在长轴上,从截口形状和对称的角度考虑,我们猜测球与截面的切点可能就是焦点.

既然是切点,用类比的方法,我们在截面下方再放入一个合适大小的球,使球与圆锥面和截面都相切,那么切点就该是椭圆的另一只“眼睛”了!接下来根据定义进行证明猜想.

上下两个圆与截面的两个切点,就是猜想的截口曲线椭圆的两个焦点,分别记作E,F,在截口曲线上任取一点A,问题转化为证明AE+AF为定值.

师:在建立模型的过程中,AE,AF分别与两个球是什么位置关系?

生:AE与上面的球相切,AF与下面的球相切.

师:A是截口曲线上的点,当然也是圆锥面上的点,过A作圆锥的母线,与上下两个球是什么关系呢?

生:母线与上下两个圆都相切.

追问:为什么一定相切?

生:过这条母线做圆锥的纵截面,AB,AC分别与上下两个截面圆相切,所以與球也相切.

师:现在来换个角度看,对于上面的小球而言,AE,AB分别是它的两条切线,那么长度关系是什么?

生:切线长相等,则AB=AE.

师:同理,观察下面的切线,能得到什么结论?

生:AC=AF.

生:所以AE+AF=AB+AC,而AB+AC=BC是定值,这就符合了椭圆的定义.

(设计意图:Dandelin的这个证明可以称作是绝唱,其中的数学美妙不可言喻. 也因其精妙到常人难以想到,所以学生的独立思考和探究过程肯定也难以推进.这部分的证明就只能在老师的一步步启发追问下逐步完成. 严密的数学证明过程,巧妙构造空间图形,融空间几何、平面几何、解析几何于一体,浑然天成,让孩子们感受数学的图形美、对称美、统一美.)

这个精妙的纯几何证明方法是法国著名的数学家Dandelin最早发现的,但这也都已经是阿波罗尼奥斯发现截口曲线是椭圆这个事实后的2000年了,可谓“路漫漫其修远兮”. 在此期间,数学家们也经历了各种不懈的努力,但都没有找寻到一种简捷有效的方法,因为这个证明过程实际上是用立体几何的方法来证明平面几何的结论,需要人为主动地去构造行之有效的几何关系和等量关系.

Dandelin双球法,不仅能证明截口曲线是椭圆,也能证明截口曲线为双曲线,还可以把截面和Dandelin球的切点圆面相交得到准线,进而证明圆锥曲线的第二定义,后人把这个证明叫“冰激凌定理”. 从这里我们也能进一步看到圆锥曲线的联系和统一,同学们课外可以继续深入学习.

(设计意图:既让孩子们能加深对Dandelin双球法的理解和内化,也能进一步说明Dandelin双球法的普适性,说明圆锥曲线的相互联系和统一性. 当然,此时,如果可以,则近乎可以达到无字证明的境界,在孩子们心中形成强烈的好奇和震撼.)

(四)实践应用

刚才同学们用一个与圆柱的母线斜交的平面截圆柱,也得到一条截口曲线为椭圆,我们在圆柱内截面两侧也放置两个与圆柱侧面和截面都相切的Dandelin球,你能仿照上述方法,证明圆柱的截口曲线也是椭圆吗?

(设计意图:这里作为一次实践应用实际是比较简单的,是对课堂知识的检测,也是孩子们自己的一次双球实验.)

问:在应用中你觉得dandelin双球法最妙在哪里?

现在,我们可以很有底气地回答课题引入时的问题“我是谁?”“我从哪里来?”椭圆是到两个定点距离之和等于定值的点的轨迹;椭圆作为圆锥曲线的一种,可以从圆锥中斜截得来.那么第三个问题“椭圆将会到哪里去呢”?关于截口曲线,生活中有哪些应用呢?

(设计意图:这是一个开放的问题.第一、孩子们根据本节课的证明过程,进一步印证生活中的椭圆确实是椭圆;第二、对后面将要学习的椭圆的性质和应用、圆锥曲线的光学性质做铺垫,起到承上启下的作用.)

(五)课堂小结

1. 在历史顺序中感悟圆锥曲线的完备统一,谈谈区别和联系;

2. 在探究发现中领略数学之美,聊聊几何之形美神也美;

3. 在合作学习中体会收获和遗憾,交流感悟.

今天我们缘未尽,情未了. 我在椭圆的左焦点,你在椭圆的右焦点,虽空间距离此消彼长,却总能默默倾听彼此的心跳. 这是即将学习的椭圆的光学性质的普遍应用. 再次谢谢同学们!

(设计意图:这是对本节课知识的盘点、思路的回顾,也是对后续教学的一点引导和启发. 当然,借班上课,情感的沟通是自始至终的,也是对课前引入的一点回应.)

[?]作业布置

1. 实践作业:以小组为单位,通过合作实践,还能通过什么方式得到椭圆?

2. 查找Dandelin截口曲线为双曲线的相关资料,并尝试用冰激凌定理解决圆锥曲线的第二定义问题.

(设计意图:这节课是教材的探究与发现,所以教学设计附带有相应的知识和资料. 作业布置第一道题是小组合作实践作业,当然这个操作更进一步的要求是证明;第二道题是课堂知识的应用和深化,也是对圆锥曲线统一性的再认识.实际操作时,这个作业要给予一周左右的时间.)

[?]教学反思

由于是借班上课,对学情的了解和把握不是很精准,所以实验探究和学生展示的环节花费了较多的时间,最后的应用也有些许遗憾,但整个教学过程比较流畅,达成了既定的学习目标. 恰好是给予了学生充分的时间和探究,才能让学生活动落到实处,学生踊跃地展示自己的体验和发现,也构建了良好的师生关系和课堂氛围.

在备课中,我对数学实验的操作与否和如何操作都曾纠结了很久. 首先是实验操作的必要性,一开始我认为高中生的认知水平对这个实验想得一定比做得快,但后来的个别调查让我发现其实并不是所有的学生都会坚信截面的形状,特别是当截面不完整的时候分歧很大. 这使我坚定了实验操作的必要性.课堂教学的事实也发现,确实学生对不完整的截面形状连简单的想象都不好定论. 其次是实验的操作方式. 数学老师的实验操作能力确实不够丰富,在试讲中实验结果整理出来的时候已是时间过半. 后来尝试用表格的形式把实验结果总结归类,终于达到事半功倍的效果. 这在以后纷繁复杂的操作活动中都可以借鉴.

教学过程中对三個圆锥曲线的关系的发现是本节课学生的直观感受,虽然我编织了美丽的童话,设计了活泼的动画,但师生对其过渡和极端情况的发现和讲解还不到位,这也是本节课的遗憾之处.

参考文献:

[1]  章建跃. 数学教学方法的现代发展[J]. 中学数学教学参考,2008(5):1-3.

[2]  陈锋,王芳. 基于旦德林双球模型的椭圆定义教学[J]. 数学教学,2012(4):5-8.

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