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例说问题表征对研究性创新题解决的影响

王立余



[摘  要] 研究性创新题作为当前高中数学创新题的一种类型,它已经被众多高中生视为数学高考的“拦路虎”. 笔者通过查阅文献,访问学者等方式,了解到问题表征对研究性创新题的影响非常大,甚至影响了学生解题的正确率和效率. 文章从背景、命题以及多元这三个表征,通过例题分析了问题表征对研究性创新题解决的影响,希望顺利解决“拦路虎”,促使学生的核心素养得到培养.

[关键词] 问题表征;研究性创新题;影响

研究性创新题往往与研究性学习有较为密切的关系,它一般会以“新”背景、知识衔接、开放探究等方式呈现,较为注重考查学生运用知识解决实际问题的相关技能. 然而,当前问题表征对于研究性创新题解决的影响并未受到关注,导致很多师生并不清楚其对研究性创新题解决的影响,所以本文中,笔者从背景表征、命题表征以及多元表征分析,概述了三种表征对研究性创新题解决的影响.

[?]背景表征对研究性创新题解决的影响

对于研究性创新题来讲,背景情境理解情况直接关系着解题的成败,也就是说,理解数学问题的背景情境,能够理解题目意思,抓住解题的关键信息,明确考查的知识点,寻得解题的有效途径,反之,未能理解或者错误理解数学问题情境,就会“山重水复疑无路”,产生畏惧、烦躁等不良情绪,进而解题失败甚至直接放弃解题. 归根究底,生活化创新题不是直观、单纯的数学问题,需要学生通过理解背景,结合真实的现实感受,挖掘数学问题本质,明确考查的知识点,进而成功解题.

例1:某居民小区为了缓解“停车难”问题,拟建造一个地下车库. 建筑设计师提供了该地下车库进入后的直角转弯处的平面设计图. 车库内,有一条直角拐弯车道,车道的平面图如图1所示,设∠OAB=θ(rad),车道宽为3 m,现有一辆转动灵活的小汽车,它水平截面图为矩形ABCD,宽为1.8 m,长为4.5 m,问此车是否能顺利通过此直角拐弯车道?

解析:本题是日常现实生活中较为典型的应用,它集现实生活与数学知识于一身. 这就要求学生解决背景问题时,用数学的眼光看待问题,实现现实问题“数学化”,这样既有助于改善学生对于数学知识学习的态度,还能够使学生亲身体会到“数学源于生活又应用于生活”,更能够培养和提高学生运用知识解决生活实际问题的能力与技能. 解该题目时,首先分析现实生活背景,组合题目信息,将生活问题准确无误地表征为数学问题. 如,车子顺利通过直角拐弯车道,就需要满足车道的水平截面图的长度大于车子的水平截面图的长度,即AB>4.5. 通过转换、变形,获得关于θ的函数f(θ)=+-1.8

tanθ+

,然后设sinθ+cosθ=x,换元得到f(θ)=g(x)=,再利用函数的单调性就可以获得答案.

[?]命题表征对研究性创新题解决的影响

CPFS结构是由概念域、概念系、命题域以及命题系形成的一种结构,它是相对较为完善的描述命题表征的结构理论. 命题表征对研究性创新题解决有非常大的影响,如理解不透,会影响题意的理解,影响解题方法的选择. 结合实践发现,命题网络一般由若干个共同成分的命题构成,所以解题时,要抓住题目命题的“共同成分”,构建有效、合理的命题网络,进而调动大脑中数学知识的系统,明确考查的知识点,构建有效的解题途径.

例2:已知,函数f(x)=rx-xr+(1-r)(x>0),其中r为有理数,且0

解析:该类创新题的题意一般都较为简单、直白,但题目的命题往往有多个组成成分,需要学生结合题意进行分析,抓住各个命题的“共同成分”,构建有效、合理的命题网络. 通过细读发现,本题的题意是證明不等式“aa≤a1b1+a2b2”,且涉及“函数f(x)=rx-xr+(1-r)(x>0)”,a1≥0,a2≥0,b1,b2为正有理数以及“不等式aa≤a1b1+a2b2”这几个命题.要证明不等式,就需要学生对不等式的证明方法进行命题表征. 本题的命题表征主要是由函数f(x)=rx-xr+(1-r)(x>0)来证明不等式“aa≤a1b1+a2b2”,两者如何关联是解题的关键之一. 由函数到不等式常涉及函数的最值问题,而函数最值问题一般会涉及函数的单调性、导数等相关知识. 利用导数可得:f(x)≥f(1),即:xr≤rx+(1-r),观察xr≤rx+(1-r)与aa≤a1b1+a2b2,发现存在“共同成分”——形式类似,这是解题的关键之二,利用b1+b2=1,令x=,r=b1,即可证得不等式.

由此可见,解题中研究命题表征,寻找表征间的关联,发现两者间的“共同成分”尤为关键.

[?]多元表征对研究性创新题解决的影响

大部分数学学习对象的表征都具有优先性和典型性的特征(简称“两性”特征),但是解题过程中发现,学习对象的“两性”特征却未能起到正面的影响,反而常常扮演着“绊脚石”的角色,影响解题的顺利进行. 例如,标准的几何图形、数学符号表达都较易使学生依赖典型问题,进而产生错误的视觉判断. 所以,多元表征是一个主动构建意义的过程,它对研究性创新题解决的影响可以从内容和方法这两个方面进行了解. 从内容来讲,表征的丰富性和相互性构建了数学学习对象的网络结构;而从方法来讲,表征的转换或者转译体现了数学学习中逻辑思维与非逻辑思维的互补. 简单来讲,就是多元表征便于学生构建网络结构,培养和提高学生的思维能力.

例3:设S=1+2+3+…+n,S=12+22+32+…+n2,已知S=,试探究S的一般公式.

解析:该类题目属于探究类题型,它对学生的思维能力有一定的要求,也就是说,探究类创新题较为注重考查学生的思维,且思维考查较深,所以解决该类题时,要进行多角度思考.结合本题的已知条件,可以有两种解决方法,如表1.

方法一:代入数值进行观察猜测,然后利用归纳法进行验证,得到:S= . 此法解题时,仅简单进行了数字表征,思维常规.

方法二:根据题目所给信息,尝试建立S和S两者之间的关系.首先,利用代入数值的方法进行初步的运算;然后,利用图表的直观特征将数据在表格(表1)中显示;其次,观察S的“形”与S的“形”的特征,归纳总结规律,得到:=;最后,结合S=,求得S=. 对比“方法一”与“方法二”发现,“方法二”对学生的信息捕捉能力和思维能力要求较高,并且解题过程较为优化,锻炼培养了学生的思维. 多元表征确实能够优化解题过程,但对学生的数学技能要求较高,不仅要求学生具有扎实的基础知识,能够构建知识网络,还要求学生熟知各种表征方式的特征,能够结合问题特征采取恰当的表征方式,且灵活转化表征方式,进而有效解决研究性创新题.

对大多数高中生来讲,研究性创新题的难度较大,且常常在解题过程中遇到“绊脚石”,归根究底就是,基础知识不扎实,未能抓住知识的本质. 因此,作为新课改背景下的一线教育工作者,在新授课中,要认真讲解基础概念、命题本质,更要引导学生多角度、多层次理解,进而形成概念域和命题域. 另外,在研究性创新题的解题过程中,要求学生运用多种表征方式进行解答,因为表征方式与思维方式和解题策略有密切的关系. 具体来讲,就是不同的表征方式具有不同的思维和解题策略,这样不仅能够拓展学生的思维,培养学生的思维能力和创新能力,还能够培养学生灵活选择解题策略的能力,进而优化解题过程.

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