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高中数学概念教学之我见

高国圣



[摘  要] 数学概念教学的实施及其实施过程中对学生思维品质的培养是数学教师教学过程中最需要关注和解决的问题.概念的形成、深化、巩固和应用是概念教学中必不可缺的环节,教师应对学生及时进行学法指导,帮助学生更好地掌握、理解概念的实质并学会灵活运用.

[关键词] 概念教学;学法指导;概念形成;深化;巩固

担当着学科知识“基石”作用的概念其实也是思维的“细胞”,很多恰当的判断与正确的推理都必须依据准确而清晰的概念进行. “授人以渔”的道理是广大数学教师普遍知晓的,掌握方法并能利用知识的迁移进行其他新知的学习是学生应有的数学学习,因此,教师在课堂教学中应做出正确的指导并因此促成学生数学学习的发展.

[?]加强概念教学

运用定义的形式对数学的本质特征进行揭露即为数学概念的内涵,对数学概念形成正确的理解并学会灵活运用是掌握数学知识、运用数学技能、发展逻辑思维、提升数学能力的重要前提和基础.因此,数学概念教学的实施及其实施过程中对学生思维品质的培养也就成为数学教师教学过程中最需要关注和解决的问题. 教师在概念教学中必须讲清概念并帮助学生对概念形成正确的认知与理解,使学生能够在搞清楚概念来龙去脉的基础上对概念的实质形成正确而深刻的领悟,继而提升自己的解题能力. 一般来讲,数学教师需要做到以下几点:

1. 让学生在探索中获得概念形成过程的认知

很多现实生活中的数量关系与空间形式进行一定的合理抽象而形成了数学概念,教学中将概念形成的生动过程概括成简单的“规定”往往会令学生丧失更多的思维空间和平台,这一行为与教师包办代替的教学行为一样无法令学生亲身经历、探索概念的形成过程.

笔者在很多可用实例引进的概念教学中都会引导学生探究概念形成的过程. 比如,笔者在椭圆的定义这一概念的教学中,首先引导学生对直观教具与动画演示进行仔细的观察,并设计以下问题:运动的有哪些?固定的有哪些?哪些量变化了?哪些量未变?接着引导学生归纳:(1)F1,F2为定点;(2)

PF1

+

PF2

为定长;(3)P为到F1,F2的距离和等于定长的动点.学生至此会自然概括出椭圆的定义并进行描述. 笔者在此基础上又让学生自主进行坐标系的建立,使学生能够自主推导出椭圆的方程(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2),笔者仅在“令a2-c2=b2”处进行了点拨.

教师在那些和更加基本的知识能够进行联系并将之作为自身成立依据的概念教学中,应尽量引导学生借助旧知识获得新知识的定义.比如,教师在余弦函数的性质的教学中就可以借助正弦函数的知识,点拨sin

x+

=cosx,学生很快便能借助已有知识并将正弦函数的图像向左移动个单位长度来得到余弦函数的图像,然后在类比函数图像的过程中获得余弦函数的性质.

学生探索知识发生的过程虽然可能会耗费更多的课堂时间,但学生亲身经历知识形成的探索过程却能给其带来巨大的收获. 学生掌握并理解概念的本质、思维能力的大力提升、享受知识发现的快乐都会在知识形成的难忘过程中变得更加鲜明.

2. 巩固深化概念的灵活运用

教师在概念的引入教学之后不应急于呈现难题、综合题,而应将注意力投向一些构思灵活、内容新颖、形式多样、容易出错的小题上,这些符合学生认知水平与学习进度的小题能更好地帮助学生掌握知识的本质特征,使学生在有意义的练习中获得解题应变能力的锻炼.

(1)设计凸显概念关键词句与内涵的小题. 很多学生在概念学习之初往往停留于浅尝辄止的层面,因此,巩固概念的小题是此时最应有的练习. 比如,教師在函数的奇偶性教学之后可以选编以下小题,引导学生判断各函数的奇偶性并同时说明理由:①y=(x+1)2;②y=x2+1;③y=x2,x∈[-2,4];④y=2x,x∈(-1,1];⑤y=x2+x.

学生在以上练习中更好地理解了定义中“任意一个x”的表达,理解了奇偶函数的定义域关于原点对称的含义.

(2)设计容易产生概念混淆的小题.很多学生在理解概念之初会产生似是而非的错觉,因此,教师在相似概念的教学之后应设计出一些学生容易混淆概念的小题以帮助学生更好地区分概念、掌握概念.比如,教师在椭圆与双曲线的定义教学之后,可以设计以下小题:已知A(-3,0),B(3,0)两点坐标,试求满足以下条件的动点P的轨迹:①PA+PB=6;②PA+PB=10;③PA+PB=4;④PA-PB=2;⑤PA-PB=-2;⑥PA-PB=±2. 这些小题能帮助学生更好地理解概念并运用定义解题.

(3)设计凸显概念实质的小题.很多学生在概念学习初期往往会对数学符号产生“玄妙”“神秘”的感觉,感觉符号神秘的同时往往无法更好地理解概念的实质. 因此,教师在教学中应注重帮助学生消除对数学符号的神秘感并设计一些小题,使学生能够在逐步克服心理障碍的同时对概念实质形成理解. 比如,函数符号y=f(x),教师在比喻、说明之外可以选编以下小题:①已知f(x)=2x+1,求f(f(x));②已知f(x)=2x,g(x)=x2,求f(g(x)),g(f(x));③已知f(x)=π,则f(-π)=_______,f(π2)=_______;④已知f(x)=ax,求证f(x+y)=f(x)f(y). 学生在练习中可以更好地将函数符号与其内容统一并有效消除对函数符号的神秘感.

(4)设计提升学生思维层次的练习. 学生因为思维定式的影响往往会对新的思维方式产生一定的排外心理,思想也会因此表现得僵化或阻滞. 教师在新概念教学之后应对学生进行这方面的训练,使学生的思维层次得到提升. 比如,教师在推广角的概念之后设计以下练习:如图1,OA,CP为角的始边,OB,DP为角的终边,则∠AOB和∠CPD哪个更大?理由如何?引导学生从静止观察问题向运用变动观点分析问题过渡,并因此帮助其思维发展.

[?]对学生学法的指导

帮助学生在“学会”的基础上“会学”是教师的重要任务,教师在教学中应帮助学生经历学法—仿法—创法的过程,使学生能够在知识的主动探究中逐步获得自学的自信与能力.

1. 帮助学生养成课前预习、勤动手的好习惯

很多学生在预习之初往往会有读懂但不能深入的感觉,自主提出问题对于他们来说极为困难. 教师在学生的预习中应要求他们反复推敲字、词、句,使学生能够在搞清条件与结论的基础上尝试动手推导,在推导遇到挫折或困难之时再对照课本进行分析,在推导顺利之时与课本进行对照,比较自己与课本的推导方法等等. 比如,很多学生在“点到直线的距离公式”的推导中往往会得到多种不同的方法,教师应及时肯定学生的学习并引导学生与课本进行对照,使学生对自己的预习过程进行回顾并再获习得的喜悦.

2. 引导学生同步思考或超前思考

教师在课堂教学中应要求学生的思维与教师同步,要求学生思考教师如此分析的理由,与此同时,还应要求学习能力较好的学生能够超前思考,要求这部分学生在得出结论之前力争想到教师将要进行的问题分析,要求这部分学生在证明之前力争发现并提出问题.比如,相当一部分学生在三角函数线中就提出了正切线为何一定作于单位圆和x轴负向交点处这一问题,新的求知欲因为这一问题的出现顿时被点燃了.

3. 帮助学生养成整理、归纳、提问的习惯

学生在复习阶段一般已经初步掌握了概念的来龙去脉和知识结构,此时提出有质量的问题是较为容易的,因此,教师在某知识单元的教学结束之后应要求学生进行知识的整理归纳与再提问.

4. 帮助学生养成解题回顾的习惯

解题时我是如何思考的?关键在哪里?哪些地方是易错的?应怎样防止?可有其他解法?此命题可以推广吗?比如,“已知x+y=1,求证x2+y2≥”一题,教师引导学生在解题结束之后进行回顾,往往能得到多种解法,引导学生证明之后还能对此命题进行推广.

5. 帮助学生养成找错因的习惯

有的学生在纠错上往往需要教师的多次辅导,基于这种情况,教师应要求其建立“作业病历卡”并在订正错误时展开错因的探究与分析.

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