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浅谈无穷小量在数学发展史中的作用

高桂英 孙晓坤


【摘要】本文阐述了无穷小量是高等数学核心定义的一个关键的量.无穷小量的引入完善了高等数学的知识体系.

【关键词】无穷小量,微积分,变化率,牛顿,莱布尼兹

众所周知,微积分是数学分析的基础,为我们提供了一整套测算几何图形、各种曲面面积的通用方法,包活测算行星绕太阳运行的轨迹在内曲面面积的方法.微积分思想产生于17世纪,可以说是17世纪最伟大的世界知识遗产之一.18世纪,德国最著名的数学家莱布尼兹和英国最伟大的数学家牛顿,二人为了宣称自己创立了微积分,进行了一场持续时间长达10年之久的激烈争斗,而且这场争斗一直持续到他们各自去世.可以说两位数学大家上演了历史上最重大的知识产权之争.直到19世纪,微积分的思想体系才得以完善,微积分的创立打开了数学的广阔天地.可以說,有了微积分,才有了数学分析的开端,才有了数学庞大分支的产生.而在微积分的发展过程中,无穷小量起到了举足轻重的作用.

一、微积分思想的创立离不开无穷小量

微积分是一种数学思想,“无限细分”就是微分,“无限求和”就是积分.微积分的创立,起源于17世纪一直困扰人们的主要四类科学问题,即速度问题、切线问题、面积问题、最值问题.这四类问题的共性是:一个变量相对另一个变量的变化率问题和它的逆问题——和的极限能够由变化率的逆过程得到.科学家们先后给出了上述四类问题的解决方法,但解决这类问题的共性并没有被注意到.在解决单个问题的时候,尽管科学家们隐约地发觉甚至利用了它们之间的关系,但是没有引起足够的重视.格雷戈瑞在《几何的通用部分》中证明了切线问题是面积问题的逆问题,但他的著述当时未引起科学家们的注意.

事物的普遍性寓于特殊性之中,伟人的伟大之处就是善于从特殊的事例中总结出具有普遍意义的结果.牛顿和莱布尼兹将众多科学家得出的零碎微积分思想总结出具有普遍意义的结论.牛顿总结了前人的思想,建立起成熟的方法,并给出了前面叙述的几个问题的内在联系,他先后在三篇论文中表达了微积分的基本问题,其中最具有代表性的是牛顿写于1671年但直到1736年才出版的《流数法和无穷级数》.在这本书中,他认为变量由点、线、面的连续运动产生的.他把变量叫作流,变量的变化率叫作流数,对x和y的流数,他记为x·和y·,x·的流数是x· ·等等.

牛顿在书中清晰地表述了微积分的基本问题,引进了无穷小量.尽管此时的无穷小量的概念并不是很明确,也不是很科学,但是在解决问题的过程中起到了关键的作用.牛顿清楚地陈述了微积分的基本问题:由已知的流动量求流数,由已知的流数求流动量.他认为,流是随时间变化的,因为这是一种有用的但不是必需的思想方法.如果0(牛顿把无穷小的增量叫作瞬,并用0表示)是无穷小的时间间隔,那么x0和y0就是x和y的无穷小量的增量或者是x和y的瞬.牛顿此时提出了函数值增量相对自变量增量的变化率的问题,后来人们称它为导数.

总之,牛顿把x和y的无穷小量增量作为求流数的手段,当增量越来越小的时候,流数(导数)就是增量比的极限,他完全明白了两种关系的互逆性,准确地建立了微分和积分之间的联系,并由此来解决一些实际问题:求曲线的切线,求函数的最大值和最小值,求曲线的曲率和曲线的拐点.他得到了曲边图形的面积和曲线长度的求法等等.总之,他利用了导数和反导数解决了微分和积分的所有问题.牛顿一直很有经验地、具体地、谨慎地进行着他的工作.他建立和完成了无穷小量的分析,实际也就建立和完成了微积分.尽管他创立了很多方法,但他很少提出法则,微积分的应用不仅证明了他的价值,而且远远地超过了莱布尼兹的工作,刺激并决定了整个18世纪分析的方向.

在建立微积分思想的过程中,另一位做出卓越贡献的科学家是莱布尼兹.虽然他与牛顿的贡献是完全不同的,他的着手点是从求函数的无穷小的增量的题目出发,函数取得这种增量是无限小变化的结果,莱布尼兹把这个函数的增量叫作微分,并用字母d表示.此外他还创立了一套独特的微积分符号系统,进而建立了积分的公式系统和运算法则,进一步给出了微分的基本运算法则和积分表.牛顿在微积分的应用中结合了运动学,造诣较莱布尼兹高一筹,但莱布尼兹的表达形式采用数学符号却又远远优于牛顿一筹,既简洁又准确地揭示出微积分的实质,强有力地促进了高等数学的发展.莱布尼兹创造的微积分符号,正像印度阿拉伯数字促进了算术与代数发展一样,促进了微积分学的发展,莱布尼兹是数学史上最杰出的符号创造者之一.

虽然莱布尼兹提出微积分比牛顿晚,但是他发表微积分的著作比牛顿要早.正是因为如此,莱布尼兹才宣称自己是微积分的第一创始人.正是因为微积分的意义很重大,莱布尼兹才被当时整个欧洲公认为最伟大的数学家.

后人一直认为牛顿和莱布尼兹都是微积分思想的独立发明者,尽管牛顿更早地接近最后的结论,而相对而言比莱布尼兹要晚一些,而莱布尼兹比牛顿更早地发表自己的成果,但他们之间的共同之处都是借助于无穷小量创立了微积分基本思想.他们创立的思想在数学的发展史中起到了划时代的意义.

二、无穷小量在数学的完整框架结构中起到了纽带的作用

牛顿和莱布尼兹创立了微积分思想,但没有给出精确概念,微积分要成为一门独立的学科,必须有自己的基础理论,为此科学家们一直在探索和研究,直到19世纪,才由波尔查诺和柯西给出精确的导数和积分的定义.

纵观高等数学可以看到,微积分的原始定义都是通过极限理论来定义的,而极限理论的核心就是量变到质变的飞跃,在实现飞跃的过程中,无穷小量起到了关键的作用.

比如,导数的定义,函数在某一点的导数是自变量增量在无穷小的状态下,函数值的增量与自变量增量的比值的极限值,即 limΔx→0ΔyΔx=f′(x0),而对ΔyΔx无论|Δx|多么小(但不等于零),从平面函数的曲线来讲,ΔyΔx始终是过定点P(x0,y0)割线的斜率,但取得极限后limΔx→0ΔyΔx就产生了值的变化——过P(x0,y0)的切线的斜率了.

再比如,微分的定义,即函数y=f(x)在点x=x0上的改变量Δy可以表示为Δy=αΔx+o(Δx),其中o(Δx)是当Δx→0时比Δx高阶的无穷小,这时称函数f(x)在点x0处可微,且α=f′(x),称f′(x0)Δx为f(x)在点x0处的微分,记作dy=f′(x0)Δx,于是有Δy=dy+o(Δx),微分又称为函数改变量的主要部分.微分学的真正意义是,它可以近似等于增量,而且较为精确.这就是用无穷小量定义微分的重要性.类似的概念在高等数学中有很多,这里不再一一叙述.

微积分思想最根本的内容是无穷小,但是这个无穷小到底是什么,它跟0又是什么关系,数学家们一直都没有搞清楚,当时由此导致产生了一些很有趣的悖论.就连牛顿和莱布尼兹两位大师对无穷小的定义也很粗糙,甚至于有时候还变来变去,这显然是很不合适的.最终到了18世纪,导致了数学史上的第二次数学危机.

总之,微积分凝聚了众多科学家的智慧,经过了近三个世纪的时间才日趋严谨和完善起来,而在这一发展过程中无穷小量起到了至关重要的作用.

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