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定性比较带电粒子在有界磁场中运动时间的方法

邓思平

有界匀强磁场是指只在局部空间存在的匀强磁场.带电粒子垂直磁场方向从磁场边界进入,由于入射速度和磁感应强度的可变性,造成它在磁场中运动的圆弧轨迹各不相同,对应的运动时间也各不相同.

定性比较带电粒子在有界磁场中运动时间的方法有两种.一种是通过比较圆心角的大小来比较时间的长短,适用于磁感应强度不变的情况,其计算公式是t=·T;另一种是通过比较弧长(弦长)的长短来比较时间的长短,适用于速度大小不变的情况,其计算公式是t=.从教学实践来看,由于求解磁场中运动时间的计算题练习量较大,学生运用第一种方法的意识比较到位.而第二种方法往往多用于定性分析,不经常用来定量计算,学生往往重视不够,训练不多,不能形成意识.本文拟就这两种方法的应用范围和选择依据通过实例进行分析,以期帮助读者掌握比较此类运动时间的方法.

一、其它不变,仅入射粒子的速率改变的情况,适用公式t=·T.

【例1】如图所示圆形区域(图1-A)和矩形区域(图1-B)内,有垂直于纸面方向的匀强磁场,一束质量和带电量都相同的带电粒子,以不相等的速率,沿着相同的方向,垂直边界射入匀强磁场中,又都从该磁场中射出,这些粒子在磁场中的运动时间有的较长,有的较短,若带电粒子在磁场中只受磁场力的作用,试比较三条轨迹①②③对应运动时间的长短.

【解析】同一粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期与速率无关,当粒子的速率改变时,周期不变,在磁场中的运动时间t与偏转角度θ(圆心角)成正比,宜用公式t=·T.比较图1-A所示区域中三条轨迹①②③对应的圆心角,发现θ1=θ2=π>θ3,则运动时间t1=t2>t3.比较图1-B所示区域中三条轨迹①②③对应的圆心角,发现θ1>θ2>θ3,则运动时间t1>t2>t3.

二、其它不变,仅磁感应强度B的大小发生变化的情况,适用公式t=.

若将例1的条件更改成带电粒子的入射速度相同,且满足前一粒子射出磁场时,后一粒子才进入,每一个粒子进入时的磁场不同.依旧比较三条轨迹①②③对应运动时间的长短时,就会发现,第③条轨迹对应的磁场的磁感应强度B最弱,运动周期T最大,但偏转角度θ最小,公式t=·T已经不能直接用来判断时间的长短.若注意到粒子的入射速度相同,而三条轨迹①②③的长度不同,那么公式t=正适合用来比较运动时间的长短.比较粒子在两个磁场区域中运动时间的结果均为t1

【例2】如图2-A所示在半径为R的绝缘圆筒内有匀强磁场,方向垂直纸面向里,圆筒正下方有一小孔C,一带电量为+q、质量为m的带电粒子(重力忽略不计),以速度v0从小孔C处向着圆心射入磁场.已知带电粒子与筒壁的碰撞无电荷量的损失,且每次碰撞时间极短,碰后以原速率返回.若施加的磁感应强度B合适时,此粒子能在最短的时间内从小孔C处射出,求粒子与筒壁的碰撞次数.

【解析】初看这道题,涉及到时间,很多学生自然地想到了周期公式T=,认为B越大,则T越小,从而认为B越大越好.殊不知,B越大时,根据r=,带电粒子运动的轨道半径也将越小,这就意味着带电粒子与筒内壁碰撞次数将增多,情形如图B、C、D所示

从几何知识容易得到,碰撞的最小次数必须是3次.碰撞次数越多,则轨道半径r越小,带电粒子的轨迹长度也将越长,所以图2-B所示的带电粒子的轨迹长度即三段弧长总和s最短;而粒子在运动过程中,速率不变,从而根据公式t=,得到时间t必然最短.

三、其它不变,仅粒子入射方向可以任意的情况,适用公式t=.

【例3】如图所示圆形区域(图3-A)和条形区域(图3-B)内,有垂直于纸面方向的匀强磁场,一束电子(电荷量为-e,质量为m)自点O以速率v射入磁感应强度为B的匀强磁场中,圆形区域的半径为d,条形区域的宽度也为d.已知d<,带电粒子在磁场中只受磁场力的作用.由于电子入射方向不同,穿过磁场所用时间不同,求

①用最长时间穿过圆形磁场区域的粒子的出射位置;

②以最短时间穿过条形磁场区域的粒子的出射位置.

【解析】由于电子运动速率相同,则不同方向射入的电子的运动半径相同,由几何知识可知,轨迹弧均为劣弧,弧长与弦长成正比.在图3-A中,弦OP最长,对应弧长也最长,由t=可知时间最长.在图3-B中,弦OP最短,对应弧长也最短,由t=可知时间最短.

本题也可用比较圆心角的方法来判断,但较为繁琐.

四、结论

从以上列举的三种情况及相关实例的解析来看,比较带电粒子在有界匀强磁场中的运动时间时,要依据具体情况选择判断公式.总之,定性比较磁场中运动时间时,若入射速率相同,优先选用公式t=;若入射速率不同,只能选用公式t=·T.

(作者单位:梅州市梅县区高级中学)

责任编校 李平安

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