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与圆相关的动态几何问题

彭胜生

以运动的观点探究几何图形的变化规律问题,称之为动态几何问题,这类问题常常集几何、代数知识于一体,解决这类问题的关键要掌握图形在运动中伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性,灵活运用有关数学知识解决问题。

随着课改的不断深入,数学中考题型也在不断创新,动态几何问题逐年增多,其中与圆相关的动态几何问题占比较大,这类动态几何通常包含点动、线动、形动等三类问题。

一、点动型

点动型就是指在题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题型。解题时要根据这些点在运动变化的过程中产生的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究。

例1如图,点A、B、C、D为⊙O的四等分点,动点P从圆心O出发,沿OC→弧CD→DO的路线做匀速运动,设运动的时间为t秒,∠APB的度数为y度,则下列图象中表示y(度)与t(秒)之间函数关系最恰当的是( )

分析:本题考查了函数图象,三角形外角性质,圆周角定理。当动点P在OC上时,根据三角形的外角大于与它不相邻内角的性质,得∠APB逐渐减小;当动点P在DO上时,同理可得∠APB逐渐增大,当动P在CD上时,根据同弧所以圆周角相等性质,得∠APB不变;故选C。

解决这类点动问题的常常用的是“分段发现法”,也就是通过对运动过程中“拐点”进行探究,从动态的角度去分析可能出现的变与不变的情况,以静制动。

二、线动型

线动型就是指在题设图形中,设计一条或两条线通过平移或旋转的运动方式,使其与已知几何图形产生交点,并对这些点在运动变化的过程中产生的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究。

例2如图,AB是⊙O的一条弦,点C是⊙O上一动点,且∠ACB=30°,点E、F分别是AC、BC的中点,直线EF与⊙O交于G、H两点.若⊙O的半径为7,则GE+FH的最大值为____。

分析:本题考查了圆周角定理,三角形中位线定理,确定GH的位置是解题的关键。由点E、F分别是AC、BC的中点,根据三角形中位线定理得出EF=■AB=3.5为定值,则GE+FH=GH-EF=GH-3.5,所以当GH取最大值时,GE+FH有最大值.而直径是圆中最长的弦,故当GH为⊙O的直径时,GE+FH有最大值14-3.5=10.5。

解决这类线动问题的关键是要把握图形运动与变化的全过程,抓住其中的等量关系和变量关系及运动变化中图形的特殊位置,进而探索出一般的结论或者从中获得解题启示,这种由特殊到一般的思想对我们解决运动变化问题是极为重要。

三、形动型

形动型是对给定的图形(或其一部分)实行某种位置变化,然后在新的图形中分析有关图形之间的关系。这类问题常与探究性、存在性等结合在一起,考察学生动手、观察、探索与实践能力。圆主要有移动、滚动、转动及翻动等四种常用基本运动。

1.移动

例3如图,点A(1,0)、B(7,0),⊙A、⊙B的半径分别为1和2,当⊙A与⊙B相切时,应将⊙A沿轴向右平移____个单位。

分析:本题考查了圆与圆的位置关系,根据相切的两种情况分类讨论即可,答案为:3或5或7或9。

2.滚动

例4如图,等边△ABC的周长为6π,半径是1的⊙O从与AB相切于点D的位置出发,在△ABC外部按顺时针方向沿三角形滚动,又回到与AB相切于点D的位置,则⊙O自转了____周。

分析:本题考查了该等边三角形的性质,直线与圆的位置关系。当⊙O在三边运动时自转周数:6π÷2π=3,当⊙O绕过三角形外角时,共自转了三角形外角和的度数为360°即一周,所以⊙O自转了4周。

3.转动

例5如图,⊙O1和⊙O2的半径分别是1和2,连接O1O2,交⊙O2于点P,O1O2=5,若将⊙O1绕点P按顺时针方向旋转360°,则⊙O1与⊙O2共相切____次。

分析:此题考查了两圆相切的位置关系:外切,则d=R+r;内切,则d=R-r(d表示圆心距)。如图,⊙O1与⊙O2共相切3次。

4.翻动

例6如图,将⊙O沿弦AB折叠,使AB经过圆心O,则∠OAB=____。

分析:本题考查的是垂径定理及图形的翻折变换的性质。

过点O作OC⊥AB于点D,交⊙O于点C,

∵将⊙O沿弦AB折叠,使弧AB经过圆心O,

∴OD=■OC,∴OD=■OA,∵OC⊥AB,∴∠OAB=30°。

当然,与圆相关的动态几何问题还会以不同的形式呈现:如物体在传送带(或定滑轮)上运动,此时物体移动(上升)的距离等于转轮上质点运动的弧线的长度;再比如圆在运动过程中直径会随着时间和位置的变化而变化的一类问题也常在中考题中出现,在这就不一一列举。无论动态几何问题以什么方式呈现,线动、形动实质还是点动,即点动带动线动,进而还会产生形动,因而线动型,形动型问题常通过转化成点动型问题求解。

解答与圆相关的动态几何问题的关键是抓住运动变化中的不变性(动中取静),抓住“静”的瞬间,使一般情形转化为特殊问题(静中求动),要善于借助图形分析,结合常用的数学方法,掌控动态变化的“拐点”,挖掘运动过程中的某些变量之间存在一些清晰或者隐含的关系,构建数学模型,从而把问题解决。

(作者单位:江苏省张家港市南丰中学)

以运动的观点探究几何图形的变化规律问题,称之为动态几何问题,这类问题常常集几何、代数知识于一体,解决这类问题的关键要掌握图形在运动中伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性,灵活运用有关数学知识解决问题。

随着课改的不断深入,数学中考题型也在不断创新,动态几何问题逐年增多,其中与圆相关的动态几何问题占比较大,这类动态几何通常包含点动、线动、形动等三类问题。

一、点动型

点动型就是指在题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题型。解题时要根据这些点在运动变化的过程中产生的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究。

例1如图,点A、B、C、D为⊙O的四等分点,动点P从圆心O出发,沿OC→弧CD→DO的路线做匀速运动,设运动的时间为t秒,∠APB的度数为y度,则下列图象中表示y(度)与t(秒)之间函数关系最恰当的是( )

分析:本题考查了函数图象,三角形外角性质,圆周角定理。当动点P在OC上时,根据三角形的外角大于与它不相邻内角的性质,得∠APB逐渐减小;当动点P在DO上时,同理可得∠APB逐渐增大,当动P在CD上时,根据同弧所以圆周角相等性质,得∠APB不变;故选C。

解决这类点动问题的常常用的是“分段发现法”,也就是通过对运动过程中“拐点”进行探究,从动态的角度去分析可能出现的变与不变的情况,以静制动。

二、线动型

线动型就是指在题设图形中,设计一条或两条线通过平移或旋转的运动方式,使其与已知几何图形产生交点,并对这些点在运动变化的过程中产生的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究。

例2如图,AB是⊙O的一条弦,点C是⊙O上一动点,且∠ACB=30°,点E、F分别是AC、BC的中点,直线EF与⊙O交于G、H两点.若⊙O的半径为7,则GE+FH的最大值为____。

分析:本题考查了圆周角定理,三角形中位线定理,确定GH的位置是解题的关键。由点E、F分别是AC、BC的中点,根据三角形中位线定理得出EF=■AB=3.5为定值,则GE+FH=GH-EF=GH-3.5,所以当GH取最大值时,GE+FH有最大值.而直径是圆中最长的弦,故当GH为⊙O的直径时,GE+FH有最大值14-3.5=10.5。

解决这类线动问题的关键是要把握图形运动与变化的全过程,抓住其中的等量关系和变量关系及运动变化中图形的特殊位置,进而探索出一般的结论或者从中获得解题启示,这种由特殊到一般的思想对我们解决运动变化问题是极为重要。

三、形动型

形动型是对给定的图形(或其一部分)实行某种位置变化,然后在新的图形中分析有关图形之间的关系。这类问题常与探究性、存在性等结合在一起,考察学生动手、观察、探索与实践能力。圆主要有移动、滚动、转动及翻动等四种常用基本运动。

1.移动

例3如图,点A(1,0)、B(7,0),⊙A、⊙B的半径分别为1和2,当⊙A与⊙B相切时,应将⊙A沿轴向右平移____个单位。

分析:本题考查了圆与圆的位置关系,根据相切的两种情况分类讨论即可,答案为:3或5或7或9。

2.滚动

例4如图,等边△ABC的周长为6π,半径是1的⊙O从与AB相切于点D的位置出发,在△ABC外部按顺时针方向沿三角形滚动,又回到与AB相切于点D的位置,则⊙O自转了____周。

分析:本题考查了该等边三角形的性质,直线与圆的位置关系。当⊙O在三边运动时自转周数:6π÷2π=3,当⊙O绕过三角形外角时,共自转了三角形外角和的度数为360°即一周,所以⊙O自转了4周。

3.转动

例5如图,⊙O1和⊙O2的半径分别是1和2,连接O1O2,交⊙O2于点P,O1O2=5,若将⊙O1绕点P按顺时针方向旋转360°,则⊙O1与⊙O2共相切____次。

分析:此题考查了两圆相切的位置关系:外切,则d=R+r;内切,则d=R-r(d表示圆心距)。如图,⊙O1与⊙O2共相切3次。

4.翻动

例6如图,将⊙O沿弦AB折叠,使AB经过圆心O,则∠OAB=____。

分析:本题考查的是垂径定理及图形的翻折变换的性质。

过点O作OC⊥AB于点D,交⊙O于点C,

∵将⊙O沿弦AB折叠,使弧AB经过圆心O,

∴OD=■OC,∴OD=■OA,∵OC⊥AB,∴∠OAB=30°。

当然,与圆相关的动态几何问题还会以不同的形式呈现:如物体在传送带(或定滑轮)上运动,此时物体移动(上升)的距离等于转轮上质点运动的弧线的长度;再比如圆在运动过程中直径会随着时间和位置的变化而变化的一类问题也常在中考题中出现,在这就不一一列举。无论动态几何问题以什么方式呈现,线动、形动实质还是点动,即点动带动线动,进而还会产生形动,因而线动型,形动型问题常通过转化成点动型问题求解。

解答与圆相关的动态几何问题的关键是抓住运动变化中的不变性(动中取静),抓住“静”的瞬间,使一般情形转化为特殊问题(静中求动),要善于借助图形分析,结合常用的数学方法,掌控动态变化的“拐点”,挖掘运动过程中的某些变量之间存在一些清晰或者隐含的关系,构建数学模型,从而把问题解决。

(作者单位:江苏省张家港市南丰中学)

以运动的观点探究几何图形的变化规律问题,称之为动态几何问题,这类问题常常集几何、代数知识于一体,解决这类问题的关键要掌握图形在运动中伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性,灵活运用有关数学知识解决问题。

随着课改的不断深入,数学中考题型也在不断创新,动态几何问题逐年增多,其中与圆相关的动态几何问题占比较大,这类动态几何通常包含点动、线动、形动等三类问题。

一、点动型

点动型就是指在题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题型。解题时要根据这些点在运动变化的过程中产生的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究。

例1如图,点A、B、C、D为⊙O的四等分点,动点P从圆心O出发,沿OC→弧CD→DO的路线做匀速运动,设运动的时间为t秒,∠APB的度数为y度,则下列图象中表示y(度)与t(秒)之间函数关系最恰当的是( )

分析:本题考查了函数图象,三角形外角性质,圆周角定理。当动点P在OC上时,根据三角形的外角大于与它不相邻内角的性质,得∠APB逐渐减小;当动点P在DO上时,同理可得∠APB逐渐增大,当动P在CD上时,根据同弧所以圆周角相等性质,得∠APB不变;故选C。

解决这类点动问题的常常用的是“分段发现法”,也就是通过对运动过程中“拐点”进行探究,从动态的角度去分析可能出现的变与不变的情况,以静制动。

二、线动型

线动型就是指在题设图形中,设计一条或两条线通过平移或旋转的运动方式,使其与已知几何图形产生交点,并对这些点在运动变化的过程中产生的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究。

例2如图,AB是⊙O的一条弦,点C是⊙O上一动点,且∠ACB=30°,点E、F分别是AC、BC的中点,直线EF与⊙O交于G、H两点.若⊙O的半径为7,则GE+FH的最大值为____。

分析:本题考查了圆周角定理,三角形中位线定理,确定GH的位置是解题的关键。由点E、F分别是AC、BC的中点,根据三角形中位线定理得出EF=■AB=3.5为定值,则GE+FH=GH-EF=GH-3.5,所以当GH取最大值时,GE+FH有最大值.而直径是圆中最长的弦,故当GH为⊙O的直径时,GE+FH有最大值14-3.5=10.5。

解决这类线动问题的关键是要把握图形运动与变化的全过程,抓住其中的等量关系和变量关系及运动变化中图形的特殊位置,进而探索出一般的结论或者从中获得解题启示,这种由特殊到一般的思想对我们解决运动变化问题是极为重要。

三、形动型

形动型是对给定的图形(或其一部分)实行某种位置变化,然后在新的图形中分析有关图形之间的关系。这类问题常与探究性、存在性等结合在一起,考察学生动手、观察、探索与实践能力。圆主要有移动、滚动、转动及翻动等四种常用基本运动。

1.移动

例3如图,点A(1,0)、B(7,0),⊙A、⊙B的半径分别为1和2,当⊙A与⊙B相切时,应将⊙A沿轴向右平移____个单位。

分析:本题考查了圆与圆的位置关系,根据相切的两种情况分类讨论即可,答案为:3或5或7或9。

2.滚动

例4如图,等边△ABC的周长为6π,半径是1的⊙O从与AB相切于点D的位置出发,在△ABC外部按顺时针方向沿三角形滚动,又回到与AB相切于点D的位置,则⊙O自转了____周。

分析:本题考查了该等边三角形的性质,直线与圆的位置关系。当⊙O在三边运动时自转周数:6π÷2π=3,当⊙O绕过三角形外角时,共自转了三角形外角和的度数为360°即一周,所以⊙O自转了4周。

3.转动

例5如图,⊙O1和⊙O2的半径分别是1和2,连接O1O2,交⊙O2于点P,O1O2=5,若将⊙O1绕点P按顺时针方向旋转360°,则⊙O1与⊙O2共相切____次。

分析:此题考查了两圆相切的位置关系:外切,则d=R+r;内切,则d=R-r(d表示圆心距)。如图,⊙O1与⊙O2共相切3次。

4.翻动

例6如图,将⊙O沿弦AB折叠,使AB经过圆心O,则∠OAB=____。

分析:本题考查的是垂径定理及图形的翻折变换的性质。

过点O作OC⊥AB于点D,交⊙O于点C,

∵将⊙O沿弦AB折叠,使弧AB经过圆心O,

∴OD=■OC,∴OD=■OA,∵OC⊥AB,∴∠OAB=30°。

当然,与圆相关的动态几何问题还会以不同的形式呈现:如物体在传送带(或定滑轮)上运动,此时物体移动(上升)的距离等于转轮上质点运动的弧线的长度;再比如圆在运动过程中直径会随着时间和位置的变化而变化的一类问题也常在中考题中出现,在这就不一一列举。无论动态几何问题以什么方式呈现,线动、形动实质还是点动,即点动带动线动,进而还会产生形动,因而线动型,形动型问题常通过转化成点动型问题求解。

解答与圆相关的动态几何问题的关键是抓住运动变化中的不变性(动中取静),抓住“静”的瞬间,使一般情形转化为特殊问题(静中求动),要善于借助图形分析,结合常用的数学方法,掌控动态变化的“拐点”,挖掘运动过程中的某些变量之间存在一些清晰或者隐含的关系,构建数学模型,从而把问题解决。

(作者单位:江苏省张家港市南丰中学)

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