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浅谈如何培养学生的合情推理能力

王维

推理能力在数学中是属于数学思考(思维)能力中的一种,因此《课程标准(2011年版)》在数学思考的目标表述中作了明确的要求,指出:要“发展合情推理能力和演绎推理能力”。合情推理是数学家乔治·波利亚对归纳推理、类比推理等或必然性推理(即推理的结论不一定成立的推理)的特称。合情推理是根据已有的知识和经验,在某种情境和过程中推出可能性结论的推理。通俗讲合情推理就是一种合乎情理的推理,主要包括观察、比较、不完全归纳、类比、猜想、估算、联想、自觉、顿悟、灵感等思维形式。合情推理所得的结果具有偶然性,但也不是完全凭空想象,它是根据一定的知识和方法做出的探索性的判断。本人结合数学教学谈谈如何培养学生的合情推理能力。

一、在数学概念的学习中培养合情推理能力

数学概念形成的过程,是数学家漫长的创造过程,其思考问题的方法和其中包含的数学思想,往往具有很高的数学价值。虽然我们不可能把这个形成过程照搬给学生,但是若能发挥其要领,浓缩精华地将数学家的发现过程暴露给学生,提供给学生数学“再创造”的环境和机会,则无疑是教会学生“数学地思考”的重要途径。在数学概念的实际学习中,需要理解数学概念的名称、定义、例子和属性, 采取归纳、类比、联想、直觉想象等合情推理的方法,让学生经历从典型、丰富 的具体事例中概括概念的本质的活动,而不是给出概念定义、举例说明、练习巩固。这样既符合学生学习概念时由具体到抽象的认识规律,掌握形式的数学概念背后的事实,而且更容易让学生发现概念的本质属性,理解概念的内涵,把概念纳入到已有的认知结构中。比如在进行“有理数的乘方”的教学时,借助下面例子:由一张厚度为0.1毫米的纸,将它对折1次后,厚度为2×0.1毫米。那么(1)对折2此后,厚度为多少毫米?(2)对折3此后,厚度为多少毫米?(3)对折4此后,厚度为多少毫米?(4)对折20此后,厚度为多少毫米?(5)如果每层楼为3米高,这张纸对折20次后有多少层楼高?让学生经历“折纸—猜想—计算”的过程,再引入乘方的概念。学生惊讶之余,既提高了学习兴趣又锻炼了推理能力。再如,初中教材是用温度计经过形象类比和推理引入数学数轴知识的。

二、在数学公式、法则、定理教学中培养合情推理能力

数学公式、法则、定理的发现过程是数学家数学智慧的体现,也是进行合情推理的典范。所以,教师在教学中如果能为学生创造“发现”定理、公式结论的机会,并且在“发现”的过程和方法上加以引导,那么学生既能学到鲜活的数 学知识,又能渐渐体验和掌握合情推理的方法。在课堂教学中要善于捕捉有利的时机,力求让学生思维与数学家发现问题的思维过程或教材作者的思维过程同步,让学生参与到知识的发生、发现过程中去,体验到发明创造的思维情景、方法及乐趣,才有利于学生的创新活动。贯彻“两个过程”原则,“两个过程”就是数学定理(公式、法则)的发生发展过程和学生的数学学习过程。贯彻“两个过程”原则,必须做好两个还原:第一个是还原数学定理(公式、法则)的原始发现过程,第二个是学生思维过程的还原。具体的做法是:①创设问题情景,引发并处理学生的先前经验和直觉;②开展观察、实验、类比、猜想、归纳、特殊化、一般化等活动,形成假设;③利用已有知识进行推理论证活动,检验假设,获得新知,并纳入到有的认知结构中。比如在三角形内角和180o的教学中,通过学生剪裁拼合三个内角,再度量的方式发现得出三角形内角和180o;轴对称图形、线、底边上的中线、高线重合(三线合一)等,教材中没有加以证明,就用折纸的方法使学生确定它们的存在;在圆的教学中,结合圆的轴对称性,发现垂径定理及其推论;利用圆的旋转对称性,发现圆中弧、弦、圆心角之间的关系;通过观察、度量,发现圆心角与圆周角之间的数量关系;利用直观操作,发现点与圆、直线与圆、圆与圆之间的位置关系等等。在学生通过观察、操作、变换探究出图形的性质后,还要求学生对发现的性质进行证明,使直观操作和逻辑推理有机地整合在一起,使推理论证成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续,这个过程中就发展了学生的合情推理能力。

三、在数学解题过程中培养合情推理能力

可以说每一个数学解题思路的产生都是一个推理的完整过程,从条件要达到结论的彼岸,如何选择入口?如何实现过渡?怎样一步步逼近结论?这是一个集观察、类比、联想、直觉等合情推理手段和论证推理的过程。因此,每一个解题过程就是一个“数学发现”,也为教师展示“数学智慧”提供了取之不尽的素材。在解题活动中,培养学生“不妨猜一猜”的良好习惯。在解题活动中,要引导学生在没有答案(或结论)时,可先猜测一下答案(或结论);猜测答数的形式,答数的范围;猜测中间结论;猜测解题方向,以形成思路;对某思路的能解性作出估计;培养学生“不妨猜一猜”的良好习惯。例1:在学完乘法公式后教师可为学生创设这样一个思维情境:

请观察下列等式:

(a-1)(a+1)=a2-1

(a-1)(a2+a+1)=a3-1

(a-1)(a3+a2+a+1)=a4-1

根据前面的等式你能得到什么规律?请用一个等式表示你的发现,并说明理由。学生对这样的问题乐于思考和探究,并通过类比容易得到:

(a-1)(an+an-1+an-2+……+a+1)=an-1-1

该结论学生运用多项式的乘法法则可直接推得,这里证明从略。对教师来讲,前面的过程只是一种精心设计,而对学生来说却经历了一个从感性认识到解决问题的完整历程,其活动的程序大致可表示如下:观察——研究——归纳——得到猜想——验证。猜想是通向创造的门扉,猜想给创造以巨大的推动力。在创造的过程中,猜想常常是一个接一个的,一个猜想被证实了,又转入另一个猜想;一个猜想被否定了,又调换一个新猜想。猜想和证明有时遥遥无期,如哥德巴赫猜想;有时近在咫尺。在猜想中,已经包含了学生跳跃性的思维,我们要善于捕捉学生稍纵即逝的思维火花,使它发扬光大。

总之,在中学教学中进行合情推理方法研究,是提高课堂效率、优化教学条件、提升教学水平的一种途径,对于学生,它不但能使学生学到知识,会解决问题,而且能使学生掌握在新问题出现时该如何应对的思想方法。对于老师,研究合情推理教学能提高自己的业务水平,增加课堂教学的趣味性,使教学更加有条理。

【参考文献】

[1]G·波利亚.数学与猜想[M].北京:科学出版社,2001.

[2]G·波利亚.怎样解题——数学教学法的新面貌[M].上海:上海科技教育出版社,2002.

[3]教育部.数学课程标准(全日制义务教育实验稿)[M] .北京:北京师范大出版社,2001.

(作者单位:浙江省宁波市明楼中学)

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