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圆锥曲线中的定点问题

李芳芳

圆锥曲线中的定点问题是高考命题的一个热点,也是圆锥曲线问题中的一个难点。解决这个难点没有常规的方法,但解决这个难点的基本思路是明确的,定点问题必然是在变化中所表现出来的不变的量,那么就可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等,这些直线方程、数量积、比例关系不受变量所影响的某个点,就是要求的定点。化解这类问题难点的关键就是引进变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等,根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。

题型一、直线过定点问题

例型1 点A为双曲线C:x2-■=1的右顶点,直线MN不过点A交C于M,N两点,若AM⊥AN;求证:直线MN过定点,并求出该定点的坐标。

解:当直线MN不垂直于x轴时,设直线MN的方程为y=kx+m

设M(x1,y1),N(x2,y2)

则由y=kx+m2x2-y2=2 得(2-k2)x2-2kmx-m2-2=0

x1+x2=■,x1x2=■

由■·■(k2+1)x1x2-(km-1)(x1+x2)+m2+1=0得

3k2+2km-m2=0

所以k=■或k=-m(舍去)

此时直线MN:过定点P(-3,0)

当直线MN垂直于x轴时易知直线MN也过定点P(-3,0)所以直线MN过定点P(-3,0);

评注:经典题型,让学生了解斜率之积、斜率之和为定值时求定点的解法。可以推广一般结论:不过圆锥曲线的顶点A的直线与圆锥曲线相交于M、N两点,若直线AM、AN的斜率之积、斜率之和为定值,则直线MN过定点。

变式1:已知椭圆C:■+■=1(a>b>0)的离心率e=■,左、右焦点分别为F1,F2,点P(2,■),点F2在线段PF1的中垂线上.

(1)求椭圆C的方程;

(2)设直线l:y=kx+m与椭圆C交于M,N两点,直线F2M与F2N的倾斜角分别为α,β,且α+β=π,试问直线l是否过定点?若过,求该定点的坐标.

题型二、曲线过定点

例2.已知直线y=-x+1与椭圆■+■=1(a>b>0)相交于A、B两点,且OA⊥OB.(其中O为坐标原点)求证:不论a、b如何变化,椭圆恒过第一象限内的一个定点P,并求点P的坐标。

解:由■-■=1y=-x+1

得(a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2)=0.

由Δ=(-2a2)2-4a2(a2+b2)(1-b2)>0,整理得a2+b2>1.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=■,x1x2=■.

∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0,即2x1x2-(x1+x2)+1=0.

∴■-■+1=0.整理得a2+b2-2a2b2=0.

由a2+b2-2a2b2=0.,得■+■=1,则不论a、b如何变化,椭圆恒过第一象限内的定点(■,■).

评注:本类题由已知条件OA⊥OB经过转化找到满足曲线方程椭圆中a,b的关系式a2+b2-2a2b2=0.,因为椭圆恒过一定点,所以将关系式转化为椭圆方程的一般形式,可从一般形式中得到这一定点。

变式3:椭圆C:x2+■=1过点S(-■,0)的动直线l交椭圆C于A,B两点,试问:在直角坐标平面内是否存在一个定点T,使得无论直线l如何转动,以为AB直径的圆恒过点T?若存在,求出点的T坐标;若不存在,则说明理由。

题型三、定点与定值综合

例3.已知椭圆E的中心在原点,焦点在x轴上,椭圆上的点到焦点的距离的最小值为■-1,离心率e=■.

(1)求椭圆E的方程;

(2)过点(1,0)作直线l交E于P,Q两点,试问:在x轴上是否存在一个定点M,使■·■为定值?若存在,求出这个定点M的坐标;若不存在,请说明理由.

解:(1)椭圆E的方程为■+y2=1.

(2)假设存在符合条件的点M(m,0),设P(x1,y1),Q(x2,y2), 则■=(x1-m,y1),■=(x2-m,y2),

■·■=(x1-m)(x2-m)+y1y2=x1x2-m(x1+x2)+m2+y1y2.

①当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=1,则x1+x2=2,x1x2=1,y1y2=-■,由m=■,得■·■=-■.

当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-1),

由■+y2=1y=k(x+1)得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0

则x1+x2=■,x1x2=■,

y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=-■所以■·■=■-m·■+m2-■=■.

因为对于任意的k值,■·■为定值,所以2m2-4m+1=2(m2-2),得m=■.所以M[■,0],此时■·■=-■。

综上,符合条件的点M存在,且坐标为[■,0].

评注:定点定值问题的关键是引进参数建立其求解目标的代数表达式,只要这个代数表达式与引进的参数无关即可。本题的难点是由■·■的表达式,如何确定m值使得与直线斜率无关,化解的方法就是对k进行集项,只有当k的系数等于零时,式子的值才能与k无关,进而求出定点。当然也可以先通过特殊位置确定数量积的值和点M的坐标,再进行具体证明。

(作者单位:浙江省龙泉第一中学)

圆锥曲线中的定点问题是高考命题的一个热点,也是圆锥曲线问题中的一个难点。解决这个难点没有常规的方法,但解决这个难点的基本思路是明确的,定点问题必然是在变化中所表现出来的不变的量,那么就可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等,这些直线方程、数量积、比例关系不受变量所影响的某个点,就是要求的定点。化解这类问题难点的关键就是引进变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等,根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。

题型一、直线过定点问题

例型1 点A为双曲线C:x2-■=1的右顶点,直线MN不过点A交C于M,N两点,若AM⊥AN;求证:直线MN过定点,并求出该定点的坐标。

解:当直线MN不垂直于x轴时,设直线MN的方程为y=kx+m

设M(x1,y1),N(x2,y2)

则由y=kx+m2x2-y2=2 得(2-k2)x2-2kmx-m2-2=0

x1+x2=■,x1x2=■

由■·■(k2+1)x1x2-(km-1)(x1+x2)+m2+1=0得

3k2+2km-m2=0

所以k=■或k=-m(舍去)

此时直线MN:过定点P(-3,0)

当直线MN垂直于x轴时易知直线MN也过定点P(-3,0)所以直线MN过定点P(-3,0);

评注:经典题型,让学生了解斜率之积、斜率之和为定值时求定点的解法。可以推广一般结论:不过圆锥曲线的顶点A的直线与圆锥曲线相交于M、N两点,若直线AM、AN的斜率之积、斜率之和为定值,则直线MN过定点。

变式1:已知椭圆C:■+■=1(a>b>0)的离心率e=■,左、右焦点分别为F1,F2,点P(2,■),点F2在线段PF1的中垂线上.

(1)求椭圆C的方程;

(2)设直线l:y=kx+m与椭圆C交于M,N两点,直线F2M与F2N的倾斜角分别为α,β,且α+β=π,试问直线l是否过定点?若过,求该定点的坐标.

题型二、曲线过定点

例2.已知直线y=-x+1与椭圆■+■=1(a>b>0)相交于A、B两点,且OA⊥OB.(其中O为坐标原点)求证:不论a、b如何变化,椭圆恒过第一象限内的一个定点P,并求点P的坐标。

解:由■-■=1y=-x+1

得(a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2)=0.

由Δ=(-2a2)2-4a2(a2+b2)(1-b2)>0,整理得a2+b2>1.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=■,x1x2=■.

∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0,即2x1x2-(x1+x2)+1=0.

∴■-■+1=0.整理得a2+b2-2a2b2=0.

由a2+b2-2a2b2=0.,得■+■=1,则不论a、b如何变化,椭圆恒过第一象限内的定点(■,■).

评注:本类题由已知条件OA⊥OB经过转化找到满足曲线方程椭圆中a,b的关系式a2+b2-2a2b2=0.,因为椭圆恒过一定点,所以将关系式转化为椭圆方程的一般形式,可从一般形式中得到这一定点。

变式3:椭圆C:x2+■=1过点S(-■,0)的动直线l交椭圆C于A,B两点,试问:在直角坐标平面内是否存在一个定点T,使得无论直线l如何转动,以为AB直径的圆恒过点T?若存在,求出点的T坐标;若不存在,则说明理由。

题型三、定点与定值综合

例3.已知椭圆E的中心在原点,焦点在x轴上,椭圆上的点到焦点的距离的最小值为■-1,离心率e=■.

(1)求椭圆E的方程;

(2)过点(1,0)作直线l交E于P,Q两点,试问:在x轴上是否存在一个定点M,使■·■为定值?若存在,求出这个定点M的坐标;若不存在,请说明理由.

解:(1)椭圆E的方程为■+y2=1.

(2)假设存在符合条件的点M(m,0),设P(x1,y1),Q(x2,y2), 则■=(x1-m,y1),■=(x2-m,y2),

■·■=(x1-m)(x2-m)+y1y2=x1x2-m(x1+x2)+m2+y1y2.

①当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=1,则x1+x2=2,x1x2=1,y1y2=-■,由m=■,得■·■=-■.

当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-1),

由■+y2=1y=k(x+1)得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0

则x1+x2=■,x1x2=■,

y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=-■所以■·■=■-m·■+m2-■=■.

因为对于任意的k值,■·■为定值,所以2m2-4m+1=2(m2-2),得m=■.所以M[■,0],此时■·■=-■。

综上,符合条件的点M存在,且坐标为[■,0].

评注:定点定值问题的关键是引进参数建立其求解目标的代数表达式,只要这个代数表达式与引进的参数无关即可。本题的难点是由■·■的表达式,如何确定m值使得与直线斜率无关,化解的方法就是对k进行集项,只有当k的系数等于零时,式子的值才能与k无关,进而求出定点。当然也可以先通过特殊位置确定数量积的值和点M的坐标,再进行具体证明。

(作者单位:浙江省龙泉第一中学)

圆锥曲线中的定点问题是高考命题的一个热点,也是圆锥曲线问题中的一个难点。解决这个难点没有常规的方法,但解决这个难点的基本思路是明确的,定点问题必然是在变化中所表现出来的不变的量,那么就可以用变量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等,这些直线方程、数量积、比例关系不受变量所影响的某个点,就是要求的定点。化解这类问题难点的关键就是引进变化的参数表示直线方程、数量积、比例关系等,根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。

题型一、直线过定点问题

例型1 点A为双曲线C:x2-■=1的右顶点,直线MN不过点A交C于M,N两点,若AM⊥AN;求证:直线MN过定点,并求出该定点的坐标。

解:当直线MN不垂直于x轴时,设直线MN的方程为y=kx+m

设M(x1,y1),N(x2,y2)

则由y=kx+m2x2-y2=2 得(2-k2)x2-2kmx-m2-2=0

x1+x2=■,x1x2=■

由■·■(k2+1)x1x2-(km-1)(x1+x2)+m2+1=0得

3k2+2km-m2=0

所以k=■或k=-m(舍去)

此时直线MN:过定点P(-3,0)

当直线MN垂直于x轴时易知直线MN也过定点P(-3,0)所以直线MN过定点P(-3,0);

评注:经典题型,让学生了解斜率之积、斜率之和为定值时求定点的解法。可以推广一般结论:不过圆锥曲线的顶点A的直线与圆锥曲线相交于M、N两点,若直线AM、AN的斜率之积、斜率之和为定值,则直线MN过定点。

变式1:已知椭圆C:■+■=1(a>b>0)的离心率e=■,左、右焦点分别为F1,F2,点P(2,■),点F2在线段PF1的中垂线上.

(1)求椭圆C的方程;

(2)设直线l:y=kx+m与椭圆C交于M,N两点,直线F2M与F2N的倾斜角分别为α,β,且α+β=π,试问直线l是否过定点?若过,求该定点的坐标.

题型二、曲线过定点

例2.已知直线y=-x+1与椭圆■+■=1(a>b>0)相交于A、B两点,且OA⊥OB.(其中O为坐标原点)求证:不论a、b如何变化,椭圆恒过第一象限内的一个定点P,并求点P的坐标。

解:由■-■=1y=-x+1

得(a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2)=0.

由Δ=(-2a2)2-4a2(a2+b2)(1-b2)>0,整理得a2+b2>1.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=■,x1x2=■.

∵OA⊥OB,∴x1x2+y1y2=0,即2x1x2-(x1+x2)+1=0.

∴■-■+1=0.整理得a2+b2-2a2b2=0.

由a2+b2-2a2b2=0.,得■+■=1,则不论a、b如何变化,椭圆恒过第一象限内的定点(■,■).

评注:本类题由已知条件OA⊥OB经过转化找到满足曲线方程椭圆中a,b的关系式a2+b2-2a2b2=0.,因为椭圆恒过一定点,所以将关系式转化为椭圆方程的一般形式,可从一般形式中得到这一定点。

变式3:椭圆C:x2+■=1过点S(-■,0)的动直线l交椭圆C于A,B两点,试问:在直角坐标平面内是否存在一个定点T,使得无论直线l如何转动,以为AB直径的圆恒过点T?若存在,求出点的T坐标;若不存在,则说明理由。

题型三、定点与定值综合

例3.已知椭圆E的中心在原点,焦点在x轴上,椭圆上的点到焦点的距离的最小值为■-1,离心率e=■.

(1)求椭圆E的方程;

(2)过点(1,0)作直线l交E于P,Q两点,试问:在x轴上是否存在一个定点M,使■·■为定值?若存在,求出这个定点M的坐标;若不存在,请说明理由.

解:(1)椭圆E的方程为■+y2=1.

(2)假设存在符合条件的点M(m,0),设P(x1,y1),Q(x2,y2), 则■=(x1-m,y1),■=(x2-m,y2),

■·■=(x1-m)(x2-m)+y1y2=x1x2-m(x1+x2)+m2+y1y2.

①当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=1,则x1+x2=2,x1x2=1,y1y2=-■,由m=■,得■·■=-■.

当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-1),

由■+y2=1y=k(x+1)得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0

则x1+x2=■,x1x2=■,

y1y2=k2(x1-1)(x2-1)=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=-■所以■·■=■-m·■+m2-■=■.

因为对于任意的k值,■·■为定值,所以2m2-4m+1=2(m2-2),得m=■.所以M[■,0],此时■·■=-■。

综上,符合条件的点M存在,且坐标为[■,0].

评注:定点定值问题的关键是引进参数建立其求解目标的代数表达式,只要这个代数表达式与引进的参数无关即可。本题的难点是由■·■的表达式,如何确定m值使得与直线斜率无关,化解的方法就是对k进行集项,只有当k的系数等于零时,式子的值才能与k无关,进而求出定点。当然也可以先通过特殊位置确定数量积的值和点M的坐标,再进行具体证明。

(作者单位:浙江省龙泉第一中学)

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