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不等式“恒成立”问题的解法

朱月祥

在不等式问题的求解中,“恒成立”问题有其特殊性,它的求解,需要一定的技巧,也是学生学习不等式的一个难点。本文试举例加以说明。

1.借助不等式的有关知识

数学中很多不等式或不等关系,本身就有“恒成立”的含义,如a2+b2≥2ab,|sinx|≤1等,解题中应当充分利用这些知识,寻求解题策略。

例1已知f(x)=2loga(x+2)+log■(x2+4x)(a>0,且a≠1),当x∈(0,+∞)时,f(x)<0恒成立,试判断函数在(0,+∞)上的单调性。

解:∵f(x)=2loga(x+2)+log■(x2+4x)

=loga■=loga(1+■)

又∵1+■>1,∴只有0

令u=1+■,∴y=logau

∵x>0时,u=1+■为减函数,y=logau为减函数,由复合函数单调性知:

y=loga(1+■)在x>0时为增函数。

2.转化为函数的图像关系

将不等式所涉及的有关不等式转化为函数,把不等式问题转化为函数图像性质的关系问题是解决此类问题的常用方法。

例2如果不等式|x-1|-|x-2|>a(a为常数),对于任意实数x总成立,则a的取值范围是( )

(A)a<-3 (B)a<3 (C)a<-1 (D)a<1

解:如图,在同一直角坐标系内作出函数y1=|x-1|-|x-2|和y2=a的图象,不难发现要使|x-1|-|x-2|>a恒成立,只需直线y2=a恒在折线y1=|x-1|-|x-2|图象的下方,即a<-3,故选(A)。

例3如果不等式x2-logax<0(a为常数)在(0,■]上恒成立,求a的取值范围。

解:设y1=x2,y2=logax由图像不难知道,当a>1时,x2-logax<0不可能恒成立。

∴0

由图形可知,要使(0,■]时x2■。

∴■

例4若不等式kx2-2x>k-2对满足|k|<1的所有k都成立,求x的取值范围。

解: 由kx2-2x>k-2得

(x2-1)k-2(x-1)>0,设f(k)=(x2-1)k-2(x-1)

依题意,要使当|k|<1时,f(k)>0恒成立,由一次函数性质知必须f(1)>0f(-1)>0,即(x-1)2>0-x2-2x+3>0

解得-3

上述三个例子如果仍按照一般的方法去求解,显然将很难解决,甚至无法求解。但将不等关系转化为函数图像的性质关系,借助于图形的直观性求解,无疑大大简化了解题的难度,可为独辟蹊径,化难为易。

3.利用f(x)≥g(x)?圳f(x)不小于g(x)的最大值

例5 定义在(-∞,3]上的减函数f(a2-sinx)≤f(a+1+cos2x)对于一切x∈R恒成立,求实数a的取值范围。

解: 要使f(a2-sinx)≤f(a+1+cos2x)恒成立,

只要a+1+cos2x≤a2-sinx≤2恒成立

即a2-a-■≥-(sinx-■)2

由a2-sinx≤3得a2-3≤sinx

所以a2-a-■≥0a2-3≤-1得-■≤a≤■

∴a的范围为[-■,■]。

4.利用恒等式的特殊性

例6已知函数f(x)=x2+bx+c(b、c为实常数)对于任意α∈R,恒有f(sinα)≥0,且f(2+cosα)≤0,求函数b=g(c)及其定义域。

解: ∵f(sinα)≥0①,f(2+cosα)≤0②,对于α∈R恒成立,

将α=90o,α=180o分别代入①②得:

f(1)≥0f(1)≤0?圳f(1)=0

∴1+b+c=0,∴b=-c-1

又∵-1≤sinx≤1,1≤2+cosx≤3

由图形知,f(3)≤0f(-1)≤0即1-b+c≥09+3b+c≤0

∴b≤-4,c≥3

∴g(c)=-c-1(c≥3)。

例7已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象过(-1,0),问是否存在常数a、b、c使得不等式x≤f(x)≤■(1+x2)对一切实数x都成立?证明你的结论。

解:f(x)的图象过(-1,0),∴a-b+c=0①

又x≤f(x)≤■(1+x2)对一切实数x都成立

令x=1,得1≤a+b+c≤1,∴a+b+c=1 ②

由①②知,b=■,c=■-a,f(x)=ax2+■x+■-a ∴2x≤2ax2+x+1-2a≤1+x2

∴2ax2-x+1-2a≥0 ③(2a-1)x2+x-2a≤0 ④ 对一切x∈R恒成立

由③知2a>0△=1+4·2a(a-1)≤0解得a=■

代入④得■x2+x-■=-■(x-1)2≤0也恒成立。

∴存在a=c=■,b=■对于x∈R成立。

(作者单位:江苏省滨海县獐沟中学)

在不等式问题的求解中,“恒成立”问题有其特殊性,它的求解,需要一定的技巧,也是学生学习不等式的一个难点。本文试举例加以说明。

1.借助不等式的有关知识

数学中很多不等式或不等关系,本身就有“恒成立”的含义,如a2+b2≥2ab,|sinx|≤1等,解题中应当充分利用这些知识,寻求解题策略。

例1已知f(x)=2loga(x+2)+log■(x2+4x)(a>0,且a≠1),当x∈(0,+∞)时,f(x)<0恒成立,试判断函数在(0,+∞)上的单调性。

解:∵f(x)=2loga(x+2)+log■(x2+4x)

=loga■=loga(1+■)

又∵1+■>1,∴只有0

令u=1+■,∴y=logau

∵x>0时,u=1+■为减函数,y=logau为减函数,由复合函数单调性知:

y=loga(1+■)在x>0时为增函数。

2.转化为函数的图像关系

将不等式所涉及的有关不等式转化为函数,把不等式问题转化为函数图像性质的关系问题是解决此类问题的常用方法。

例2如果不等式|x-1|-|x-2|>a(a为常数),对于任意实数x总成立,则a的取值范围是( )

(A)a<-3 (B)a<3 (C)a<-1 (D)a<1

解:如图,在同一直角坐标系内作出函数y1=|x-1|-|x-2|和y2=a的图象,不难发现要使|x-1|-|x-2|>a恒成立,只需直线y2=a恒在折线y1=|x-1|-|x-2|图象的下方,即a<-3,故选(A)。

例3如果不等式x2-logax<0(a为常数)在(0,■]上恒成立,求a的取值范围。

解:设y1=x2,y2=logax由图像不难知道,当a>1时,x2-logax<0不可能恒成立。

∴0

由图形可知,要使(0,■]时x2■。

∴■

例4若不等式kx2-2x>k-2对满足|k|<1的所有k都成立,求x的取值范围。

解: 由kx2-2x>k-2得

(x2-1)k-2(x-1)>0,设f(k)=(x2-1)k-2(x-1)

依题意,要使当|k|<1时,f(k)>0恒成立,由一次函数性质知必须f(1)>0f(-1)>0,即(x-1)2>0-x2-2x+3>0

解得-3

上述三个例子如果仍按照一般的方法去求解,显然将很难解决,甚至无法求解。但将不等关系转化为函数图像的性质关系,借助于图形的直观性求解,无疑大大简化了解题的难度,可为独辟蹊径,化难为易。

3.利用f(x)≥g(x)?圳f(x)不小于g(x)的最大值

例5 定义在(-∞,3]上的减函数f(a2-sinx)≤f(a+1+cos2x)对于一切x∈R恒成立,求实数a的取值范围。

解: 要使f(a2-sinx)≤f(a+1+cos2x)恒成立,

只要a+1+cos2x≤a2-sinx≤2恒成立

即a2-a-■≥-(sinx-■)2

由a2-sinx≤3得a2-3≤sinx

所以a2-a-■≥0a2-3≤-1得-■≤a≤■

∴a的范围为[-■,■]。

4.利用恒等式的特殊性

例6已知函数f(x)=x2+bx+c(b、c为实常数)对于任意α∈R,恒有f(sinα)≥0,且f(2+cosα)≤0,求函数b=g(c)及其定义域。

解: ∵f(sinα)≥0①,f(2+cosα)≤0②,对于α∈R恒成立,

将α=90o,α=180o分别代入①②得:

f(1)≥0f(1)≤0?圳f(1)=0

∴1+b+c=0,∴b=-c-1

又∵-1≤sinx≤1,1≤2+cosx≤3

由图形知,f(3)≤0f(-1)≤0即1-b+c≥09+3b+c≤0

∴b≤-4,c≥3

∴g(c)=-c-1(c≥3)。

例7已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象过(-1,0),问是否存在常数a、b、c使得不等式x≤f(x)≤■(1+x2)对一切实数x都成立?证明你的结论。

解:f(x)的图象过(-1,0),∴a-b+c=0①

又x≤f(x)≤■(1+x2)对一切实数x都成立

令x=1,得1≤a+b+c≤1,∴a+b+c=1 ②

由①②知,b=■,c=■-a,f(x)=ax2+■x+■-a ∴2x≤2ax2+x+1-2a≤1+x2

∴2ax2-x+1-2a≥0 ③(2a-1)x2+x-2a≤0 ④ 对一切x∈R恒成立

由③知2a>0△=1+4·2a(a-1)≤0解得a=■

代入④得■x2+x-■=-■(x-1)2≤0也恒成立。

∴存在a=c=■,b=■对于x∈R成立。

(作者单位:江苏省滨海县獐沟中学)

在不等式问题的求解中,“恒成立”问题有其特殊性,它的求解,需要一定的技巧,也是学生学习不等式的一个难点。本文试举例加以说明。

1.借助不等式的有关知识

数学中很多不等式或不等关系,本身就有“恒成立”的含义,如a2+b2≥2ab,|sinx|≤1等,解题中应当充分利用这些知识,寻求解题策略。

例1已知f(x)=2loga(x+2)+log■(x2+4x)(a>0,且a≠1),当x∈(0,+∞)时,f(x)<0恒成立,试判断函数在(0,+∞)上的单调性。

解:∵f(x)=2loga(x+2)+log■(x2+4x)

=loga■=loga(1+■)

又∵1+■>1,∴只有0

令u=1+■,∴y=logau

∵x>0时,u=1+■为减函数,y=logau为减函数,由复合函数单调性知:

y=loga(1+■)在x>0时为增函数。

2.转化为函数的图像关系

将不等式所涉及的有关不等式转化为函数,把不等式问题转化为函数图像性质的关系问题是解决此类问题的常用方法。

例2如果不等式|x-1|-|x-2|>a(a为常数),对于任意实数x总成立,则a的取值范围是( )

(A)a<-3 (B)a<3 (C)a<-1 (D)a<1

解:如图,在同一直角坐标系内作出函数y1=|x-1|-|x-2|和y2=a的图象,不难发现要使|x-1|-|x-2|>a恒成立,只需直线y2=a恒在折线y1=|x-1|-|x-2|图象的下方,即a<-3,故选(A)。

例3如果不等式x2-logax<0(a为常数)在(0,■]上恒成立,求a的取值范围。

解:设y1=x2,y2=logax由图像不难知道,当a>1时,x2-logax<0不可能恒成立。

∴0

由图形可知,要使(0,■]时x2■。

∴■

例4若不等式kx2-2x>k-2对满足|k|<1的所有k都成立,求x的取值范围。

解: 由kx2-2x>k-2得

(x2-1)k-2(x-1)>0,设f(k)=(x2-1)k-2(x-1)

依题意,要使当|k|<1时,f(k)>0恒成立,由一次函数性质知必须f(1)>0f(-1)>0,即(x-1)2>0-x2-2x+3>0

解得-3

上述三个例子如果仍按照一般的方法去求解,显然将很难解决,甚至无法求解。但将不等关系转化为函数图像的性质关系,借助于图形的直观性求解,无疑大大简化了解题的难度,可为独辟蹊径,化难为易。

3.利用f(x)≥g(x)?圳f(x)不小于g(x)的最大值

例5 定义在(-∞,3]上的减函数f(a2-sinx)≤f(a+1+cos2x)对于一切x∈R恒成立,求实数a的取值范围。

解: 要使f(a2-sinx)≤f(a+1+cos2x)恒成立,

只要a+1+cos2x≤a2-sinx≤2恒成立

即a2-a-■≥-(sinx-■)2

由a2-sinx≤3得a2-3≤sinx

所以a2-a-■≥0a2-3≤-1得-■≤a≤■

∴a的范围为[-■,■]。

4.利用恒等式的特殊性

例6已知函数f(x)=x2+bx+c(b、c为实常数)对于任意α∈R,恒有f(sinα)≥0,且f(2+cosα)≤0,求函数b=g(c)及其定义域。

解: ∵f(sinα)≥0①,f(2+cosα)≤0②,对于α∈R恒成立,

将α=90o,α=180o分别代入①②得:

f(1)≥0f(1)≤0?圳f(1)=0

∴1+b+c=0,∴b=-c-1

又∵-1≤sinx≤1,1≤2+cosx≤3

由图形知,f(3)≤0f(-1)≤0即1-b+c≥09+3b+c≤0

∴b≤-4,c≥3

∴g(c)=-c-1(c≥3)。

例7已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象过(-1,0),问是否存在常数a、b、c使得不等式x≤f(x)≤■(1+x2)对一切实数x都成立?证明你的结论。

解:f(x)的图象过(-1,0),∴a-b+c=0①

又x≤f(x)≤■(1+x2)对一切实数x都成立

令x=1,得1≤a+b+c≤1,∴a+b+c=1 ②

由①②知,b=■,c=■-a,f(x)=ax2+■x+■-a ∴2x≤2ax2+x+1-2a≤1+x2

∴2ax2-x+1-2a≥0 ③(2a-1)x2+x-2a≤0 ④ 对一切x∈R恒成立

由③知2a>0△=1+4·2a(a-1)≤0解得a=■

代入④得■x2+x-■=-■(x-1)2≤0也恒成立。

∴存在a=c=■,b=■对于x∈R成立。

(作者单位:江苏省滨海县獐沟中学)

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