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概率方法用于不等式证明中的应用

阿不拉江·吾买尔

【摘 要】本文通过运用概率方法对数学不等式的证明,得出了概率方法在解决某些数学问题时能够更简洁,更直观的观点。

【关键词】概率;数学;不等式证明

在数学的学习过程中,不等式的证明占据着非常大的比重。能够证明不等式的方法有很多,可以用初等的普通的数学运算方法证明,也可以用高等数学的方法来证明,有时候还需要采用不同方法综合运用的方式来证明。本文通过概率方法与一般方法对几个例题的证明,可以看出,概率在证明某些数学不等式时相较于其它方法,更为直接、简洁,容易让人明了。

例(1):求证:

若a,b,c,d都是大于等于0小于等于1的数,则有(a+b-ab)(c+d-cd)≥ac+bd-abcd.

证法一:因为

(a+b-ab)(c+d-cd)

=ac+ad-acd+bc+bd-bcd-abc-abd+abcd

=ac+bd-abcd+ad(1-c)(1-b)+bc(1-a)(1-d)

≥ac+bd-abcd。

由此可证得结论(a+b-ab)(c+d-cd)≥ac+bd-abcd

证法二:通过对不等式的观察,可以看出其中包含概率的一些规律和运算,因此可以构造以下概率事件,假设x,y,z,w是概率分别为a,b,c,d的相互独立的事件,那么通过概率中事件之间的关系和运算可以得出:

(x∪y)(z∪w)=xz∪xw∪yz∪yw?劢xz∪yw。

又P(xz∪yw)≤P((x∪y)(z∪w)).

又因为x,y,z,w是相互独立的事件,得

P(x∪y)=P(x)+P(y)-P(xy)=a+b-ab.。

同理可证:P(z∪w)=c+d-cd P(xz∪yz)=ac+bd-abcd.

又因为: P((x∪y)(z∪w))=P(x∪y)P(z∪w)。

得出结论: ac+bd-abcd≤(a+b-ab)(c+d-cd)。

例(2):求证: 若x∈[0,■],则■≤1。

证法一:要证■≤1,即证■cos(x-■)≤1+sinxcosx而■cos(x-■)=■[cosxcos■+sinxsin■)=■[cosx■+sinx■)=sinx+cosx

又因为

1+sinxcosx-(sinx+cosx)=1-cosα+sinα(cosα-1)=(1-cosx)(1-sinx)≥0

所以1+sinxcosx≥sinx+cosx.(1)

即得■cos(x-■)≤1+sinxcosx。即■≤1。

证法二:由方法一中的(1)可以看出,要想证明结论成立,只需要证明:

cosx+sinx-sinxcosx≤1。

首选,需要建一个概率模型,假设事件a,b相互间是独立的,并且事件a的发生概率是cosx,事件b的发生概率是sinx,即

P(a)=cosx,P(b)=sinx。P(a∪b)=P(a)+P(b)-P(ab)。

因为a,b事件相互独立,可以得出:P(ab)=P(a)P(b)

又因为P(a∪b)≤1,所以P(a)+P(b)-P(ab)=P(a)+P(b)-P(a)P(b)≤1.

即cosx+sinx-sinxcosx≤1

由此可证结论。

例(3):d为正数a,b,c,d中最大的,求证:a(d-b)+b(d-c)+c(d-a)

证明:设A,B,C是三个相互独立的事件,

令P(A)=ad,P(B)=bd,p(C)=cd

显然0≤P(A)=ad≤1,0≤P(B)=bd≤1,0≤p(C)=cd≤1.

根据概率加法公式及事件的独立性:

P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=a/d+b/d+c/d-ab/d2-ac/d2-bc/d2+abc/d3>(a/d-ab/d2)+(bd-bc/d2)+(c/d-ac/d2)

=a/d(1-b/d)+b/d(1-c/d)+c/d(1-a/d)

又因为:0≤P(A+B+C)≤1,

所以:a/d(1-b/d)+b/d(1-c/d)+c/d(1-a/d)<1

由此可得出结论:a(d-b)+b(d-c)+c(d-a)

从以上例子中可以看出,在论证不等式的过程中不仅可以采用普通运算的方法,通过概率方法的应用,能够使得解体的思路更加的清晰明朗,将抽象的数学问题变得更加具体化,更加立体化,更具有创造性,进而激发学生的创新能力。但是概率方式用于不等式的证明也存在一定的局限性,因为此种证明方式不是很容易被掌握。因此在以后的教学过程中,可以有选择性的将概率思想方法融入到对于不等式的证明之中,进而拓宽学生的解题思路,提高他们的解题能力。

【参考文献】

[1]陆晓恒.概率方法在数学证明问题中的应用[J].高等数学研究,2003,6(3):43-44.

[2]邓永录.应用概率及其理论基础[M].北京:清华大学出版社,2005.

(作者单位:喀什地区体育运动学校)

【摘 要】本文通过运用概率方法对数学不等式的证明,得出了概率方法在解决某些数学问题时能够更简洁,更直观的观点。

【关键词】概率;数学;不等式证明

在数学的学习过程中,不等式的证明占据着非常大的比重。能够证明不等式的方法有很多,可以用初等的普通的数学运算方法证明,也可以用高等数学的方法来证明,有时候还需要采用不同方法综合运用的方式来证明。本文通过概率方法与一般方法对几个例题的证明,可以看出,概率在证明某些数学不等式时相较于其它方法,更为直接、简洁,容易让人明了。

例(1):求证:

若a,b,c,d都是大于等于0小于等于1的数,则有(a+b-ab)(c+d-cd)≥ac+bd-abcd.

证法一:因为

(a+b-ab)(c+d-cd)

=ac+ad-acd+bc+bd-bcd-abc-abd+abcd

=ac+bd-abcd+ad(1-c)(1-b)+bc(1-a)(1-d)

≥ac+bd-abcd。

由此可证得结论(a+b-ab)(c+d-cd)≥ac+bd-abcd

证法二:通过对不等式的观察,可以看出其中包含概率的一些规律和运算,因此可以构造以下概率事件,假设x,y,z,w是概率分别为a,b,c,d的相互独立的事件,那么通过概率中事件之间的关系和运算可以得出:

(x∪y)(z∪w)=xz∪xw∪yz∪yw?劢xz∪yw。

又P(xz∪yw)≤P((x∪y)(z∪w)).

又因为x,y,z,w是相互独立的事件,得

P(x∪y)=P(x)+P(y)-P(xy)=a+b-ab.。

同理可证:P(z∪w)=c+d-cd P(xz∪yz)=ac+bd-abcd.

又因为: P((x∪y)(z∪w))=P(x∪y)P(z∪w)。

得出结论: ac+bd-abcd≤(a+b-ab)(c+d-cd)。

例(2):求证: 若x∈[0,■],则■≤1。

证法一:要证■≤1,即证■cos(x-■)≤1+sinxcosx而■cos(x-■)=■[cosxcos■+sinxsin■)=■[cosx■+sinx■)=sinx+cosx

又因为

1+sinxcosx-(sinx+cosx)=1-cosα+sinα(cosα-1)=(1-cosx)(1-sinx)≥0

所以1+sinxcosx≥sinx+cosx.(1)

即得■cos(x-■)≤1+sinxcosx。即■≤1。

证法二:由方法一中的(1)可以看出,要想证明结论成立,只需要证明:

cosx+sinx-sinxcosx≤1。

首选,需要建一个概率模型,假设事件a,b相互间是独立的,并且事件a的发生概率是cosx,事件b的发生概率是sinx,即

P(a)=cosx,P(b)=sinx。P(a∪b)=P(a)+P(b)-P(ab)。

因为a,b事件相互独立,可以得出:P(ab)=P(a)P(b)

又因为P(a∪b)≤1,所以P(a)+P(b)-P(ab)=P(a)+P(b)-P(a)P(b)≤1.

即cosx+sinx-sinxcosx≤1

由此可证结论。

例(3):d为正数a,b,c,d中最大的,求证:a(d-b)+b(d-c)+c(d-a)

证明:设A,B,C是三个相互独立的事件,

令P(A)=ad,P(B)=bd,p(C)=cd

显然0≤P(A)=ad≤1,0≤P(B)=bd≤1,0≤p(C)=cd≤1.

根据概率加法公式及事件的独立性:

P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=a/d+b/d+c/d-ab/d2-ac/d2-bc/d2+abc/d3>(a/d-ab/d2)+(bd-bc/d2)+(c/d-ac/d2)

=a/d(1-b/d)+b/d(1-c/d)+c/d(1-a/d)

又因为:0≤P(A+B+C)≤1,

所以:a/d(1-b/d)+b/d(1-c/d)+c/d(1-a/d)<1

由此可得出结论:a(d-b)+b(d-c)+c(d-a)

从以上例子中可以看出,在论证不等式的过程中不仅可以采用普通运算的方法,通过概率方法的应用,能够使得解体的思路更加的清晰明朗,将抽象的数学问题变得更加具体化,更加立体化,更具有创造性,进而激发学生的创新能力。但是概率方式用于不等式的证明也存在一定的局限性,因为此种证明方式不是很容易被掌握。因此在以后的教学过程中,可以有选择性的将概率思想方法融入到对于不等式的证明之中,进而拓宽学生的解题思路,提高他们的解题能力。

【参考文献】

[1]陆晓恒.概率方法在数学证明问题中的应用[J].高等数学研究,2003,6(3):43-44.

[2]邓永录.应用概率及其理论基础[M].北京:清华大学出版社,2005.

(作者单位:喀什地区体育运动学校)

【摘 要】本文通过运用概率方法对数学不等式的证明,得出了概率方法在解决某些数学问题时能够更简洁,更直观的观点。

【关键词】概率;数学;不等式证明

在数学的学习过程中,不等式的证明占据着非常大的比重。能够证明不等式的方法有很多,可以用初等的普通的数学运算方法证明,也可以用高等数学的方法来证明,有时候还需要采用不同方法综合运用的方式来证明。本文通过概率方法与一般方法对几个例题的证明,可以看出,概率在证明某些数学不等式时相较于其它方法,更为直接、简洁,容易让人明了。

例(1):求证:

若a,b,c,d都是大于等于0小于等于1的数,则有(a+b-ab)(c+d-cd)≥ac+bd-abcd.

证法一:因为

(a+b-ab)(c+d-cd)

=ac+ad-acd+bc+bd-bcd-abc-abd+abcd

=ac+bd-abcd+ad(1-c)(1-b)+bc(1-a)(1-d)

≥ac+bd-abcd。

由此可证得结论(a+b-ab)(c+d-cd)≥ac+bd-abcd

证法二:通过对不等式的观察,可以看出其中包含概率的一些规律和运算,因此可以构造以下概率事件,假设x,y,z,w是概率分别为a,b,c,d的相互独立的事件,那么通过概率中事件之间的关系和运算可以得出:

(x∪y)(z∪w)=xz∪xw∪yz∪yw?劢xz∪yw。

又P(xz∪yw)≤P((x∪y)(z∪w)).

又因为x,y,z,w是相互独立的事件,得

P(x∪y)=P(x)+P(y)-P(xy)=a+b-ab.。

同理可证:P(z∪w)=c+d-cd P(xz∪yz)=ac+bd-abcd.

又因为: P((x∪y)(z∪w))=P(x∪y)P(z∪w)。

得出结论: ac+bd-abcd≤(a+b-ab)(c+d-cd)。

例(2):求证: 若x∈[0,■],则■≤1。

证法一:要证■≤1,即证■cos(x-■)≤1+sinxcosx而■cos(x-■)=■[cosxcos■+sinxsin■)=■[cosx■+sinx■)=sinx+cosx

又因为

1+sinxcosx-(sinx+cosx)=1-cosα+sinα(cosα-1)=(1-cosx)(1-sinx)≥0

所以1+sinxcosx≥sinx+cosx.(1)

即得■cos(x-■)≤1+sinxcosx。即■≤1。

证法二:由方法一中的(1)可以看出,要想证明结论成立,只需要证明:

cosx+sinx-sinxcosx≤1。

首选,需要建一个概率模型,假设事件a,b相互间是独立的,并且事件a的发生概率是cosx,事件b的发生概率是sinx,即

P(a)=cosx,P(b)=sinx。P(a∪b)=P(a)+P(b)-P(ab)。

因为a,b事件相互独立,可以得出:P(ab)=P(a)P(b)

又因为P(a∪b)≤1,所以P(a)+P(b)-P(ab)=P(a)+P(b)-P(a)P(b)≤1.

即cosx+sinx-sinxcosx≤1

由此可证结论。

例(3):d为正数a,b,c,d中最大的,求证:a(d-b)+b(d-c)+c(d-a)

证明:设A,B,C是三个相互独立的事件,

令P(A)=ad,P(B)=bd,p(C)=cd

显然0≤P(A)=ad≤1,0≤P(B)=bd≤1,0≤p(C)=cd≤1.

根据概率加法公式及事件的独立性:

P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=a/d+b/d+c/d-ab/d2-ac/d2-bc/d2+abc/d3>(a/d-ab/d2)+(bd-bc/d2)+(c/d-ac/d2)

=a/d(1-b/d)+b/d(1-c/d)+c/d(1-a/d)

又因为:0≤P(A+B+C)≤1,

所以:a/d(1-b/d)+b/d(1-c/d)+c/d(1-a/d)<1

由此可得出结论:a(d-b)+b(d-c)+c(d-a)

从以上例子中可以看出,在论证不等式的过程中不仅可以采用普通运算的方法,通过概率方法的应用,能够使得解体的思路更加的清晰明朗,将抽象的数学问题变得更加具体化,更加立体化,更具有创造性,进而激发学生的创新能力。但是概率方式用于不等式的证明也存在一定的局限性,因为此种证明方式不是很容易被掌握。因此在以后的教学过程中,可以有选择性的将概率思想方法融入到对于不等式的证明之中,进而拓宽学生的解题思路,提高他们的解题能力。

【参考文献】

[1]陆晓恒.概率方法在数学证明问题中的应用[J].高等数学研究,2003,6(3):43-44.

[2]邓永录.应用概率及其理论基础[M].北京:清华大学出版社,2005.

(作者单位:喀什地区体育运动学校)

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