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好题欣赏

陈丽玲

【摘 要】著名的数学家华罗庚先生指出:“宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工文巧,地球之变,生物之谜,日用之繁等各个方面,无处不有数学的重要贡献。”由此可见,数学作为一门工具学科,学好数学对于学生的所有学习有着多么重要的作用。而为了帮助学生学好数学,教师为学生挑选一些好的题型进行赏析也是十分必要的学习过程。本文中,笔者对于几个较为创新的题型进行分析和思考。

【关键词】好题解析;高中数学

一个好的数学问题,通常都会注重对学生多方面的考察,对学生掌握基础知识的进行测试同时还要兼顾对学生创新能力和探究意识的培养。下面,笔者分别从高中数学“归纳推理型、探索创新型、实际应用型三方面对优秀的试题进行分析。

例题一:已知圆A与圆B,它们的方程分别为(x+2)2+y2=■,(x-2)2+y2=■,其中动圆P与圆A和圆B均是外切关系,直线M的方程是:x=a(a≤■)。

(1)求圆P轨迹的方程式,并且证明:当a=■时,P点到B点的距离与它到定直线M距离之比是固定值;

(2)延长PB,然后与点P的轨迹相交于另一个点Q,求|PQ|的最小值;

(3)假设存在某一个位置,让PQ的中点R在直线M上的射影为C,并且满足条件PC⊥QC,求a的取值范围。

解(1)设r是动圆P的半径,那么|PA|=r+■,|PB|=r+■,

∴ |PA|-|PB|=2。

∴ P点的轨迹以A和B为焦点,其中焦距是4,实轴的长是2的双曲线之右准线的右支,其轨迹的方程是x2-■=1(其中x≥1)。若a=■,则M的方程x=■,是双曲线的右准线, ∴P点到B点的距离与P点到M的距离之比是此双曲线的离心率,也就是e=2。

(2)如果直线PQ存在斜率,那么设其斜率是k,则PQ的方程是y=k(x-2),将其代入双曲线的方程,得到(3-k2)x2+4k2x-4k2-3=0

由△>0x1+x2=■>0x1x2=-■>0,解得k2>3。

∴|PQ|=■|x1-x2|=■=6+■>6。

当直线的斜率存在时,x1=x2=2,得y1=3,y2=-3,|PQ|=6。

∴|PQ|的最小值是6.

(3)当PQ与QC垂直时,P、C、Q三点能够构成直角三角形。

∴R到直线M的距离为|RC|=■=xR-a ①

又∵点P和Q都在双曲线x2-■=1之上,∴■=■=2。

∴■=2,即|PQ|=4xR-2。∴xR=■ ②

将②代入①得■=■-a,|PQ|=2-4a≥6。故有a≤-1。

试题赏析:这道题其中既有定量、定性的探究问题也包含了非定性和非定量的存在性探究问题。不仅能考察学生的知识技能,还可以延伸学生的思维,提高学生的推理和探究意识,并且充分地体现出了学生思维的广度和深度,体现了学生的自主探究精神,使得学生们在不知不觉中得到了有效提升,这是解析几何学习中不可多得的好题。

例题二:已知数列{an}中,a1=1,且点P(an,an+1)(n∈N)存在于直线“x-y+1=0”上面。

(1)试求出数列{an}它的通项公式;

(2)如果函数f(n)=■+■+■+…+■(n∈N,且n≥2),求该函数f(n)最小值;

(3)设bn=■,Sn代表数列{bn}的前n项之和。试问:是否会存在一个关于n的整式,我们称其g(n),使得S1+S2+S3+…Sn-1=(Sn-1)·g(n)对于所有大于等于2的自然数n恒成立?如若存在,请写出整式g(n)的解析式,并且对其进行证明;如若不存在,请说明其原因。

解:(1)∵an-an+1+1=0,∴a1-a2+1=0,a2-a3+1=0,

……

an-1-an+1=0,

以上各式相加,得a1-an+n-1=0,an=a1+n-1=n。

(2)∵f(n)=■+■+…+■,

f(n+1)=■+■+…+■+■+■,

∴f(n+1)-f(n)=■+■-■>■+■-■=0。

∴f(n)是单调递增的,故f(n)的最小值是f(2)=■。

(3)∵bn=■?圯Sn=1+■+…+■,

∴sn-sn-1=■(n≥2),即nsn-(n-1)sn-1=sn-1+1,

∴(n-1)sn-1-(n-2)sn-2=sn-2+1

2s2-s1=s1+1,∴nsn-s1=s1+s2+…+sn-1+n-1,

∴s1+s2+…+sn-1=nsn-n=(sn-1)·n(n≥2),∴g(n)=n。

故存在关于n的整式g(n)=n使等式对于一切不小2的自然数n恒成立。

试题赏析:该题巧妙地把数列问题与函数问题结合在一起,要求考生做到深入挖掘信息,找出规律推理出函数关系,并且通过“链式法则”呈现试题情境,让考生经历的观察——判断——尝试——归纳——验证的思考过程,让学生从规律中得出发现和探索,不但考察了学生的数学思维,对学生的理解问题水平也进行了有效的检验,这是一道典型的归纳推理综合题。

【参考文献】

[1]潘超,赵思林.2009年高考数学创新型试题赏析.中学数学.2009.10

[2]王永生.一题多变、一题多解好题欣赏难题突破.中国数学教育.2014.04

[3]孔丽华,胡雷.高中数学创新题赏.析宿州教育学院学报.2007.06

(作者单位:江西省赣州市赣县中学北校区)

【摘 要】著名的数学家华罗庚先生指出:“宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工文巧,地球之变,生物之谜,日用之繁等各个方面,无处不有数学的重要贡献。”由此可见,数学作为一门工具学科,学好数学对于学生的所有学习有着多么重要的作用。而为了帮助学生学好数学,教师为学生挑选一些好的题型进行赏析也是十分必要的学习过程。本文中,笔者对于几个较为创新的题型进行分析和思考。

【关键词】好题解析;高中数学

一个好的数学问题,通常都会注重对学生多方面的考察,对学生掌握基础知识的进行测试同时还要兼顾对学生创新能力和探究意识的培养。下面,笔者分别从高中数学“归纳推理型、探索创新型、实际应用型三方面对优秀的试题进行分析。

例题一:已知圆A与圆B,它们的方程分别为(x+2)2+y2=■,(x-2)2+y2=■,其中动圆P与圆A和圆B均是外切关系,直线M的方程是:x=a(a≤■)。

(1)求圆P轨迹的方程式,并且证明:当a=■时,P点到B点的距离与它到定直线M距离之比是固定值;

(2)延长PB,然后与点P的轨迹相交于另一个点Q,求|PQ|的最小值;

(3)假设存在某一个位置,让PQ的中点R在直线M上的射影为C,并且满足条件PC⊥QC,求a的取值范围。

解(1)设r是动圆P的半径,那么|PA|=r+■,|PB|=r+■,

∴ |PA|-|PB|=2。

∴ P点的轨迹以A和B为焦点,其中焦距是4,实轴的长是2的双曲线之右准线的右支,其轨迹的方程是x2-■=1(其中x≥1)。若a=■,则M的方程x=■,是双曲线的右准线, ∴P点到B点的距离与P点到M的距离之比是此双曲线的离心率,也就是e=2。

(2)如果直线PQ存在斜率,那么设其斜率是k,则PQ的方程是y=k(x-2),将其代入双曲线的方程,得到(3-k2)x2+4k2x-4k2-3=0

由△>0x1+x2=■>0x1x2=-■>0,解得k2>3。

∴|PQ|=■|x1-x2|=■=6+■>6。

当直线的斜率存在时,x1=x2=2,得y1=3,y2=-3,|PQ|=6。

∴|PQ|的最小值是6.

(3)当PQ与QC垂直时,P、C、Q三点能够构成直角三角形。

∴R到直线M的距离为|RC|=■=xR-a ①

又∵点P和Q都在双曲线x2-■=1之上,∴■=■=2。

∴■=2,即|PQ|=4xR-2。∴xR=■ ②

将②代入①得■=■-a,|PQ|=2-4a≥6。故有a≤-1。

试题赏析:这道题其中既有定量、定性的探究问题也包含了非定性和非定量的存在性探究问题。不仅能考察学生的知识技能,还可以延伸学生的思维,提高学生的推理和探究意识,并且充分地体现出了学生思维的广度和深度,体现了学生的自主探究精神,使得学生们在不知不觉中得到了有效提升,这是解析几何学习中不可多得的好题。

例题二:已知数列{an}中,a1=1,且点P(an,an+1)(n∈N)存在于直线“x-y+1=0”上面。

(1)试求出数列{an}它的通项公式;

(2)如果函数f(n)=■+■+■+…+■(n∈N,且n≥2),求该函数f(n)最小值;

(3)设bn=■,Sn代表数列{bn}的前n项之和。试问:是否会存在一个关于n的整式,我们称其g(n),使得S1+S2+S3+…Sn-1=(Sn-1)·g(n)对于所有大于等于2的自然数n恒成立?如若存在,请写出整式g(n)的解析式,并且对其进行证明;如若不存在,请说明其原因。

解:(1)∵an-an+1+1=0,∴a1-a2+1=0,a2-a3+1=0,

……

an-1-an+1=0,

以上各式相加,得a1-an+n-1=0,an=a1+n-1=n。

(2)∵f(n)=■+■+…+■,

f(n+1)=■+■+…+■+■+■,

∴f(n+1)-f(n)=■+■-■>■+■-■=0。

∴f(n)是单调递增的,故f(n)的最小值是f(2)=■。

(3)∵bn=■?圯Sn=1+■+…+■,

∴sn-sn-1=■(n≥2),即nsn-(n-1)sn-1=sn-1+1,

∴(n-1)sn-1-(n-2)sn-2=sn-2+1

2s2-s1=s1+1,∴nsn-s1=s1+s2+…+sn-1+n-1,

∴s1+s2+…+sn-1=nsn-n=(sn-1)·n(n≥2),∴g(n)=n。

故存在关于n的整式g(n)=n使等式对于一切不小2的自然数n恒成立。

试题赏析:该题巧妙地把数列问题与函数问题结合在一起,要求考生做到深入挖掘信息,找出规律推理出函数关系,并且通过“链式法则”呈现试题情境,让考生经历的观察——判断——尝试——归纳——验证的思考过程,让学生从规律中得出发现和探索,不但考察了学生的数学思维,对学生的理解问题水平也进行了有效的检验,这是一道典型的归纳推理综合题。

【参考文献】

[1]潘超,赵思林.2009年高考数学创新型试题赏析.中学数学.2009.10

[2]王永生.一题多变、一题多解好题欣赏难题突破.中国数学教育.2014.04

[3]孔丽华,胡雷.高中数学创新题赏.析宿州教育学院学报.2007.06

(作者单位:江西省赣州市赣县中学北校区)

【摘 要】著名的数学家华罗庚先生指出:“宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工文巧,地球之变,生物之谜,日用之繁等各个方面,无处不有数学的重要贡献。”由此可见,数学作为一门工具学科,学好数学对于学生的所有学习有着多么重要的作用。而为了帮助学生学好数学,教师为学生挑选一些好的题型进行赏析也是十分必要的学习过程。本文中,笔者对于几个较为创新的题型进行分析和思考。

【关键词】好题解析;高中数学

一个好的数学问题,通常都会注重对学生多方面的考察,对学生掌握基础知识的进行测试同时还要兼顾对学生创新能力和探究意识的培养。下面,笔者分别从高中数学“归纳推理型、探索创新型、实际应用型三方面对优秀的试题进行分析。

例题一:已知圆A与圆B,它们的方程分别为(x+2)2+y2=■,(x-2)2+y2=■,其中动圆P与圆A和圆B均是外切关系,直线M的方程是:x=a(a≤■)。

(1)求圆P轨迹的方程式,并且证明:当a=■时,P点到B点的距离与它到定直线M距离之比是固定值;

(2)延长PB,然后与点P的轨迹相交于另一个点Q,求|PQ|的最小值;

(3)假设存在某一个位置,让PQ的中点R在直线M上的射影为C,并且满足条件PC⊥QC,求a的取值范围。

解(1)设r是动圆P的半径,那么|PA|=r+■,|PB|=r+■,

∴ |PA|-|PB|=2。

∴ P点的轨迹以A和B为焦点,其中焦距是4,实轴的长是2的双曲线之右准线的右支,其轨迹的方程是x2-■=1(其中x≥1)。若a=■,则M的方程x=■,是双曲线的右准线, ∴P点到B点的距离与P点到M的距离之比是此双曲线的离心率,也就是e=2。

(2)如果直线PQ存在斜率,那么设其斜率是k,则PQ的方程是y=k(x-2),将其代入双曲线的方程,得到(3-k2)x2+4k2x-4k2-3=0

由△>0x1+x2=■>0x1x2=-■>0,解得k2>3。

∴|PQ|=■|x1-x2|=■=6+■>6。

当直线的斜率存在时,x1=x2=2,得y1=3,y2=-3,|PQ|=6。

∴|PQ|的最小值是6.

(3)当PQ与QC垂直时,P、C、Q三点能够构成直角三角形。

∴R到直线M的距离为|RC|=■=xR-a ①

又∵点P和Q都在双曲线x2-■=1之上,∴■=■=2。

∴■=2,即|PQ|=4xR-2。∴xR=■ ②

将②代入①得■=■-a,|PQ|=2-4a≥6。故有a≤-1。

试题赏析:这道题其中既有定量、定性的探究问题也包含了非定性和非定量的存在性探究问题。不仅能考察学生的知识技能,还可以延伸学生的思维,提高学生的推理和探究意识,并且充分地体现出了学生思维的广度和深度,体现了学生的自主探究精神,使得学生们在不知不觉中得到了有效提升,这是解析几何学习中不可多得的好题。

例题二:已知数列{an}中,a1=1,且点P(an,an+1)(n∈N)存在于直线“x-y+1=0”上面。

(1)试求出数列{an}它的通项公式;

(2)如果函数f(n)=■+■+■+…+■(n∈N,且n≥2),求该函数f(n)最小值;

(3)设bn=■,Sn代表数列{bn}的前n项之和。试问:是否会存在一个关于n的整式,我们称其g(n),使得S1+S2+S3+…Sn-1=(Sn-1)·g(n)对于所有大于等于2的自然数n恒成立?如若存在,请写出整式g(n)的解析式,并且对其进行证明;如若不存在,请说明其原因。

解:(1)∵an-an+1+1=0,∴a1-a2+1=0,a2-a3+1=0,

……

an-1-an+1=0,

以上各式相加,得a1-an+n-1=0,an=a1+n-1=n。

(2)∵f(n)=■+■+…+■,

f(n+1)=■+■+…+■+■+■,

∴f(n+1)-f(n)=■+■-■>■+■-■=0。

∴f(n)是单调递增的,故f(n)的最小值是f(2)=■。

(3)∵bn=■?圯Sn=1+■+…+■,

∴sn-sn-1=■(n≥2),即nsn-(n-1)sn-1=sn-1+1,

∴(n-1)sn-1-(n-2)sn-2=sn-2+1

2s2-s1=s1+1,∴nsn-s1=s1+s2+…+sn-1+n-1,

∴s1+s2+…+sn-1=nsn-n=(sn-1)·n(n≥2),∴g(n)=n。

故存在关于n的整式g(n)=n使等式对于一切不小2的自然数n恒成立。

试题赏析:该题巧妙地把数列问题与函数问题结合在一起,要求考生做到深入挖掘信息,找出规律推理出函数关系,并且通过“链式法则”呈现试题情境,让考生经历的观察——判断——尝试——归纳——验证的思考过程,让学生从规律中得出发现和探索,不但考察了学生的数学思维,对学生的理解问题水平也进行了有效的检验,这是一道典型的归纳推理综合题。

【参考文献】

[1]潘超,赵思林.2009年高考数学创新型试题赏析.中学数学.2009.10

[2]王永生.一题多变、一题多解好题欣赏难题突破.中国数学教育.2014.04

[3]孔丽华,胡雷.高中数学创新题赏.析宿州教育学院学报.2007.06

(作者单位:江西省赣州市赣县中学北校区)

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