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“母子型”相似模型的解读与应用探究

叶含琪



[摘  要] 数学模型是基于特定对象的内在特性而提取的规律、结论,可为后续的解题提供方法参照,因此实用性很强. “母子型”相似模型是初中数学重要的几何模型,利用该模型的结论可以快速打开解题突破口. 文章深入解读该模型,探讨模型的使用思路,并结合模型探讨对应的综合问题.

[关键词] 几何相似;母子型;三角形;比例式;圆;抛物线

相似三角形是初中数学需要重点掌握的知识内容,在相似三角形中存在众多的相似模型,其中“母子型”相似模型应用较为广泛,其特点为由两个相似的三角形相依组合,如“子依母怀”,故得其名. 深入理解模型内涵,灵活运用相关结论可以显著提高解题效率,下面对“母子型”相似三角形开展模型探究,问题例析.

模型解读

变形:模型中的顶角∠ABC具有一般性,可以适度对其变形,设定其为90°,对应的BD变更为底边AC上的垂线,则可以变形出特殊的“母子型”相似模型. 另外,若设定其中的点D为底边AC上的动点,则可以将其变更为动点,结合三角形相似的判定定理命制相关的相似探究题.

“母子型”相似模型也称之为共边共角型三角形相似模型,其最为显著的特征为:图形中含有一个公共角和一条公共边,大小三角形错叠相依,从中提取的两组相等角可以证明一组三角形相似,进而得到一条线段的平方与共线线段的乘积相等. 虽然“母子型”相似模型较为简单,但灵活运用可以高效求解相关综合问题,例如与圆相结合的几何综合题,以抛物线为背景的探究问题等.

模型巩固

“母子型”相似模型简单,但实际考查时常结合众多图形构成复合图形,因此在解析时需要明晰模型特点,准确提取问题中的模型,利用模型的结论来推理求解.

分析 根据CE2=ED·EP的结构,若要完成证明就需要将等积形式转化为相应的比例形式,显然需要利用三角形相似的性质来证明,但与其直接相关的三角形并不存在,因此需要联立多组相似三角形构建. 分析可知图中存在“母子型”相似三角形模型,根据其结论可以提炼对应的线段比例式,后续结合△AEP与△BED的相似性质可以完成证明.

证明 CE是Rt△ABC斜边AB上的垂线,可证△ACE∽△CBE,由相似性质可得CE2=AE·BE. 进一步分析可证∠P=∠DBE,结合∠AEP=∠DEB=90°可证△AEP∽△DEB,由相似性质可得AE·BE=ED·EP,综合可知CE2=ED·EP,得证.

总结 涉及“母子型”相似模型的复合图形,应关注图形的特点,合理提取模型,准确利用模型结论进行分析推理. 对于特殊的直角“母子型”相似模型,其中的线段比例式结论也可以从几何射影的角度来理解,即斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项.

综合拓展

“母子型”相似模型问题具有较强的拓展性,可与其他知识内容综合考查,例如圆的性质、三角函数、抛物线等. 学习时需要深入理解知识关联,合理构建解题思路.

1. 圆背景中的“母子型”相似模型

涉及直角的特殊“母子型”相似模型,其斜边可以作为圆的直径来构建综合图像,从而将模型与圆周角定理联系在一起,实际求解时需要结合圆的相关性质来提取模型,结合模型结论来分析问题.

例2 如图3所示,点C是⊙O上的一点,点E是圆直径AB延长线上的一点,已知BF⊥CE,垂足为点F,延长FB,与⊙O的交点为D,且∠ABD=2∠A,回答下列问题.

评析 第(2)问的求解建立在上一问,也是提取问题中“母子型”相似模型的基础,该问求角的正切值,显然可以借助直角三角形转化为线段比值问题,从而与模型的结论相关联,获得“隔山打牛”简化过程的解题效果.

2. 抛物线背景中的“母子型”相似模型

抛物线可与几何图形相结合考查,对于涉及“母子型”相似模型的抛物线问题,则需要首先提取其中的几何模型,结合对应结论进行分析推理,合理利用两点之间的距离公式求解线段长.

例3 抛物线y=-x2+2x+3与x轴的交点为A和B,与y轴的交点为C,顶点为D,其对称轴与x轴的交点为F,与直线BC相交于点E.

(1)试求DE的长度;

(2)设点P是x轴上的一个动点,∠DAO+∠DPO=∠α,试分析tan∠α=4时点P的坐标.

分析 (1)問求解线段长,根据曲线与直线、坐标轴的交点关系即可确定相关点坐标,后续利用两点之间的距离公式即可. (2)问为抛物线中的三角函数问题,显然需要利用图像中的三角形,依托直角三角形来转化问题. 需要关注其中的“母子型”相似模型,巧妙利用模型结论来简化过程.

反思建议

“母子型”相似模型是初中几何常见的问题模型,合理利用模型结论可以快速打开解题突破口,因此有着一定的学习价值,在实际教学中提出以下几点建议.

1. 重视阅读分析,关注问题本质

分析“母子型”相似模型,可以发现其本质就是两个三角形的相似问题,关注问题中的图形特点,找到解题关键就可以将其提炼成简洁的几何模型. 而在教学引导时需重视两点:一是提升学生阅读分析能力,模型的提炼源于对题目信息的整理和图形特点的分析,教学中逐步引导学生探究图形,理解问题信息,使其掌握、活用模型;二是挖掘问题本质,合理使用模型可以提升解题效率,但教学中需要学生理解问题本质,掌握解析模型的方法策略,这样学生在解题时才能快速、准确地提取模型.

2. 重视归纳总结,把握模型变化

几何模型是基于问题条件、几何特征所提炼的结论,其提炼过程涉及众多的探究活动,尤其应重视对问题模型的总结和归纳. 以上述模型为例,“母子型”相似模型是关于两相似三角形位置关系而总结的与线段积相关的结论,探究过程需要以几何特征为基础,以三角形相似的判定定理为线索来构建线段关联. 因此在教学中需引导学生掌握问题总结、结论归纳的技巧,提升学生的整体能力. 同时重视对模型变式探究,把握模型变化,即关注模型的一般性,了解模型的特殊情形,提升学生利用模型解题的灵活性.

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